Resiliência dos materiais: módulo de resiliência, fórmula Ur = σe²/2E, unidade e diferença para tenacidade

Resiliência é a capacidade de um material absorver energia ao se deformar elasticamente e devolvê-la quando a carga é retirada, sem ficar com deformação permanente. Ela é medida pelo módulo de resiliência, U_r = σ_e² / (2E): a energia por unidade de volume acumulada até o limite de escoamento, em J/m³, unidade equivalente ao pascal.

Dois números dão a ordem de grandeza. Um aço 1020 laminado a quente acumula cerca de 0,1 MJ/m³ até escoar; um aço mola 5160 temperado e revenido acumula cerca de 5 MJ/m³, umas cinquenta vezes mais, com praticamente o mesmo módulo de elasticidade. A diferença está toda no limite de escoamento, que entra na fórmula ao quadrado. Este artigo trata da resiliência mecânica, calculada a partir do ensaio de tração; o "módulo de resiliência" de solos e pavimentos, MR = σ_d/ε_r em MPa, é outra grandeza e tem artigo próprio: módulo de resiliência em pavimentação (DNIT 134 e 135).

O que é resiliência dos materiais

Quando uma peça é carregada dentro do regime elástico, as ligações entre os átomos se esticam sem se romper nem trocar de posição. O trabalho da força fica guardado como energia de deformação elástica e volta quando a carga sai. Callister e Rethwisch (Ciência e Engenharia de Materiais, cap. 6) chamam essa capacidade de resiliência. É o "efeito mola": a mola de suspensão que absorve o buraco e devolve a energia na volta, o arco que acumula energia ao ser armado e a entrega à flecha, o elástico de borracha esticado.

Na foto, molas helicoidais e um feixe de molas de aço: são as peças em que a resiliência é o requisito principal, porque armazenam energia elástica e a devolvem a cada ciclo.

O termo tem origem na engenharia do século XIX. Thomas Tredgold o introduziu em 1818, na Philosophical Magazine (vol. 51, p. 276 a 279), ao explicar por que certas madeiras suportavam cargas bruscas melhor que outras de mesma resistência. Robert Mallet desenvolveu depois o modulus of resilience, a grandeza por unidade de volume que se usa até hoje.

Convém separar dois termos. A resiliência é a propriedade; o módulo de resiliência, U_r, é a sua medida por unidade de volume, e não depende do tamanho da peça. A energia total que uma peça real armazena, às vezes chamada de resiliência de prova, é o módulo multiplicado pelo volume solicitado, e é calculada mais adiante. A resiliência faz parte da deformação elástica e é uma das propriedades mecânicas dos materiais que se tiram da mesma curva do ensaio de tração.

Fórmula do módulo de resiliência: U_r = σ_e² / 2E

A energia de deformação por unidade de volume é a área sob a curva tensão-deformação. Uma força F que alonga uma barra de dΔL realiza o trabalho F·dΔL; dividindo pelo volume A₀·L₀, o trabalho por volume fica σ·dε. Somando de zero até a deformação no escoamento, ε_e, obtém-se U_r = ∫σ dε, forma que vale também para curvas não lineares, como a da borracha.

Nos metais, o trecho até o escoamento é reto e obedece à lei de Hooke, σ = E·ε, em que E é o módulo de elasticidade. A área sob uma reta que sai da origem é um triângulo de base ε_e e altura σ_e, então U_r = σ_e·ε_e / 2. Substituindo ε_e = σ_e / E, chega-se à forma que aparece nos livros (Callister, cap. 6):

U_r = σ_e² / (2E)

A fórmula mostra os dois caminhos para um material resiliente: limite de escoamento alto, que entra ao quadrado, ou módulo de elasticidade baixo, que fica no denominador. Dobrar o σ_e quadruplica a energia; um E três vezes menor, como o do alumínio em relação ao aço, triplica a energia para o mesmo σ_e. A tabela reúne as grandezas e as unidades usadas no cálculo:

Grandeza	Expressão	Unidade SI
Módulo de resiliência, forma geral	Ur = ∫σ dε, de 0 a εe	J/m³
Módulo de resiliência, regime linear	Ur = σe·εe / 2 = σe² / (2E)	J/m³
Deformação no escoamento	εe = σe / E	adimensional
Energia numa peça sob tensão uniforme	U = Ur·V = F·δ / 2	J

Energia devolvida além do escoamento

A fórmula tem uma leitura mais geral. Se o material for carregado além do escoamento até uma tensão σ e depois descarregado, o descarregamento segue uma reta de inclinação E, paralela ao trecho elástico inicial. A área sob essa reta de descarga, σ² / (2E), é a energia que o material devolve; o restante da área sob a curva foi gasto na deformação plástica e fica no material como deformação permanente e calor. Em qualquer ponto da curva, portanto, a parte recuperável da energia vale σ² / (2E), resultado que decorre da lei de Hooke aplicada ao descarregamento.

O gráfico abaixo mostra as duas situações numa curva didática com E = 200 GPa e escoamento de 350 MPa, valor típico do aço 1020 trefilado. À esquerda, o triângulo verde é o módulo de resiliência: base de 0,175 %, altura de 350 MPa e área de 0,31 MJ/m³. À direita, o corpo de prova foi levado a 400 MPa e descarregado: o triângulo verde sob a reta de descarga é a energia devolvida, 0,40 MJ/m³, e a área clara à esquerda dele, como aparece na figura, é a energia dissipada, que deixa 0,69 % de deformação permanente.

Energia armazenada numa peça

O módulo de resiliência é energia por volume. Numa peça real, multiplica-se pelo volume solicitado: U = U_r·V. Numa barra tracionada de área A₀ e comprimento L₀, V = A₀·L₀. O mesmo valor sai da curva força-alongamento registrada pela máquina: no trecho linear, a área sob a curva F × ΔL até o escoamento é o triângulo F·δ / 2, em joules. A multiplicação pelo volume só vale com tensão uniforme, como na tração; flexão e torção são tratadas na seção sobre molas. O exercício 3 confere as duas contas.

Unidade de resiliência

O módulo de resiliência é energia por volume: joule por metro cúbico, J/m³. Como 1 J = 1 N·m, tem-se 1 J/m³ = 1 N·m/m³ = 1 N/m² = 1 Pa. A dimensão é a mesma da tensão, e isso gera um atalho útil: com σ_e e E em MPa, a conta σ_e² / (2E) sai em MPa, que é o mesmo que MJ/m³. As conversões mais usadas são:

• 1 kJ/m³ = 1 kPa;
• 1 MJ/m³ = 1 MPa = 1 J/cm³ = 1 N·mm/mm³;
• no sistema americano, in·lbf/in³ = psi, e 1 psi ≈ 6,895 kJ/m³.

Na hora de escrever o resultado, prefira MJ/m³ ou kJ/m³ a MPa, porque "0,31 MPa" se confunde com uma tensão. Dois erros aparecem em fontes populares. A Wikipédia em português descreve a resiliência como energia "por superfície", quando o correto é por volume. E há tabelas na internet que dão "0,16 kJ/m³" para o aço doce, quando o valor é 0,16 MJ/m³: um erro de mil vezes.

Resiliência no diagrama tensão-deformação: por que se usa o escoamento

No diagrama tensão-deformação, o ponto A é o limite de proporcionalidade, fim do trecho reto, e o ponto B é o limite elástico, maior tensão sem deformação permanente. Pela definição, a resiliência iria até B, o fim do comportamento reversível. Na prática, calcula-se até o limite de escoamento, R_eH no aço com patamar ou R_p0,2 nos demais, e os livros divergem sobre o ponto final:

• Callister define U_r até o escoamento, σ_y, que na prática é o R_p0,2.
• Hibbeler (Resistência dos Materiais) usa o limite de proporcionalidade: u_r = σ_lp² / (2E).
• Shigley fala em área até o limite elástico, "frequentemente aproximado pelo ponto de escoamento".
• Dieter (Metalurgia Mecânica) explica por que o limite elástico não é usado: determiná-lo é trabalhoso, não faz parte da rotina e o valor depende da sensibilidade do instrumento que mede a deformação.

A divergência pesa pouco nos metais, porque os três limites ficam muito próximos. E, pela energia recuperável σ² / (2E) vista na seção da fórmula, a conta feita com o R_p0,2, que já contém 0,2 % de deformação plástica, continua dando a energia que o material devolve naquele nível de tensão. Além disso, o escoamento é o único dos três medido por norma, pela ISO 6892-1 e pela ASTM E8/E8M. A diferença entre limite elástico, R_eH, R_eL e R_p0,2 está detalhada no artigo sobre limite elástico e limite de escoamento. Neste artigo, σ_e é sempre o limite de escoamento.

Valores de resiliência por material

Nenhuma norma consultada define um ensaio próprio de módulo de resiliência para metais: ele é calculado a partir de E e σ_e. Por isso uma tabela de U_r só faz sentido com a condição do material ao lado, já que o escoamento muda muito com o tratamento térmico e o encruamento. Nas contas abaixo, o E dos aços é 200 GPa, o valor da ABNT NBR 8800:2008 usado nos demais artigos do site; o E do alumínio e do titânio vem das fichas dos próprios materiais. Cada valor é a conta σ_e² / (2E), com as duas grandezas em MPa:

Material e condição	σe (MPa) e E (GPa)	Ur (MJ/m³)	Fonte dos dados
Aço AISI 1020 laminado a quente	205; 200	0,105	típico (ASM); E da NBR 8800
Aço AISI 1020 trefilado	350; 200	0,306	típico (ASM); E da NBR 8800
Aço mola SAE 5160 temperado e revenido a 540 °C	1.041; 200	2,71	típico (eFunda); E da NBR 8800
Aço mola SAE 5160 temperado e revenido a 425 °C	1.462; 200	5,34	típico (eFunda); E da NBR 8800
Alumínio 6061-T6	276; 68,9	0,553	típico (ASM/MatWeb)
Titânio Ti-6Al-4V recozido	880; 113,8	3,40	típico (ficha Aerospace Metals)
Borracha (valor didático)	≈ 2; ≈ 0,001	≈ 2 (nominal)	Dieter

Duas contas mostram o procedimento. Para o 1020 laminado a quente, 205² / (2 × 200.000) = 42.025 / 400.000 = 0,105 MJ/m³. Para o 6061-T6, 276² / (2 × 68.900) = 76.176 / 137.800 = 0,553 MJ/m³. A linha da borracha é só ordem de grandeza, porque a curva dela não é linear: mostra que um E muito baixo compensa um escoamento baixo.

O gráfico abaixo desenha os triângulos de quatro linhas da tabela na mesma escala. O aço 1020 e o aço mola têm o mesmo E e, portanto, a mesma reta; o que muda é até onde ela vai. O alumínio tem reta mais deitada e, com escoamento só um terço maior que o do 1020, acumula cerca de cinco vezes mais energia. O Ti-6Al-4V tem 60 % do escoamento do aço mola e um E pouco acima da metade, e acumula quase dois terços da energia dele.

O que muda a resiliência de um material

Como o E de uma liga quase não muda com o processamento (veja módulo de elasticidade do aço), a resiliência de um mesmo material acompanha o seu escoamento. Tudo o que eleva o escoamento eleva a resiliência ao quadrado: o encruamento, que leva o 1020 de 0,105 para 0,306 MJ/m³; a têmpera seguida de revenimento, que dá ao 5160 valores de 2,7 a 5,3 MJ/m³ conforme a temperatura de revenimento; o refino de grão. O recozimento faz o caminho inverso. Temperatura e velocidade de deformação também alteram o escoamento; os valores da tabela são à temperatura ambiente.

Daí sai uma conclusão que contraria a intuição: um material mais rígido não é mais resiliente. Para o mesmo σ_e, um E maior dá um U_r menor, porque o material chega ao escoamento com deformação menor e o triângulo fica mais estreito.

Resiliência e tenacidade: a diferença

A tenacidade é a energia que o material absorve até romper, ou seja, a área total sob a curva, com o trecho plástico incluído. A resiliência é só o triângulo inicial, e é a única parte da energia que volta. Num aço estrutural com σ_e = 250 MPa, R_m = 400 MPa, deformação na ruptura de 0,25 e E = 200 GPa, o módulo de resiliência é 250² / 400.000 = 0,156 MJ/m³, e a tenacidade estimada é (250 + 400) / 2 × 0,25 ≈ 81 MJ/m³, cerca de 520 vezes mais. Quase toda a energia que um metal dúctil absorve vem da ductilidade. A tabela resume a comparação:

	Resiliência (Ur)	Tenacidade (UT)
Regime	só elástico	elástico e plástico, até a ruptura
Área na curva	triângulo até o escoamento	área total até a ruptura
A energia volta?	sim, no descarregamento	não, quase toda é dissipada
O que favorece	σe alto e E baixo	resistência e ductilidade juntas

As duas propriedades são independentes: um aço mola tem resiliência alta e ductilidade limitada, e um cobre recozido, o contrário. A mola precisa devolver a energia; a peça tenaz precisa absorver um choque sem partir.

Materiais para molas: por que σ_e²/E decide

Uma mola existe para armazenar energia elástica e devolvê-la. Ashby (Materials Selection in Mechanical Design) mostra que, para uma mola de volume mínimo, o melhor material é o de maior índice σ_f² / E, em que σ_f é o limite de escoamento, qualquer que seja o formato da mola. O índice é o dobro de U_r e ordena os materiais do mesmo jeito. Os valores de σ_f² / E reproduzidos da tabela de Ashby, em MJ/m³, são:

• borracha: 20 a 50;
• ligas de titânio: 4 a 12;
• compósito de fibra de carbono (CFRP): 6 a 10;
• aço mola: 3 a 7;
• náilon: 1,5 a 2,5.

Por volume, a borracha supera o aço mola com folga, e por massa, com índice σ_f² / (E·ρ), fica cerca de vinte vezes à frente. Ela não substitui o aço em toda mola porque tem alto amortecimento interno: parte da energia de cada ciclo vira calor em vez de voltar, a histerese. Por isso serve a coxins e batentes, e o aço segue nas molas de suspensão.

No aço, a resiliência da mola é construída pelo tratamento térmico. Ashby e Jones (Engineering Materials 1) lembram que as molas são fortemente endurecidas, e que recozer uma mola elimina esse endurecimento, derruba o escoamento e torna o material inútil como mola. Na tabela anterior, o mesmo 5160 perde metade da resiliência só por ser revenido a 540 °C em vez de 425 °C.

Resiliência em flexão e em torção

Em flexão e em torção, só a fibra mais solicitada chega ao escoamento; o resto da seção trabalha com tensão menor e armazena menos energia. O resultado é uma fração de U_r·V. Para um eixo maciço em torção, a energia vale τ_máx²·V / (4G), metade do que armazenaria se toda a seção estivesse na tensão máxima, com G o módulo de cisalhamento, 77 GPa no aço. Para uma viga retangular em balanço com carga na ponta, vale σ_máx²·V / (18E), um nono do valor sob tensão uniforme (Beer e Johnston, Mecânica dos Materiais). Por isso molas helicoidais (torção) e feixes de mola (flexão) são dimensionados pela tensão máxima. Os ensaios correspondentes estão nos artigos sobre ensaio de torção e ensaio de flexão.

Não confunda: três usos da palavra resiliência

A mesma palavra designa grandezas diferentes conforme a área e o país. Três usos merecem atenção.

Módulo de resiliência de solos e pavimentos (MR)

Em pavimentação, o módulo de resiliência, MR, é a razão entre a tensão desvio aplicada e a deformação resiliente, a parcela que se recupera, num ensaio triaxial de carga repetida: MR = σ_d / ε_r. O resultado é dado em MPa e é uma rigidez sob carga cíclica, não uma energia. No Brasil o ensaio segue a DNIT 134/2018-ME para solos, e o MR alimenta o método de dimensionamento MeDiNa. O ensaio triaxial está no artigo sobre ensaio triaxial, e o equipamento para ele é a prensa triaxial estática e dinâmica da Biopdi, que atende a DNIT 134/2018-ME. O ensaio, os 18 pares de tensão e o uso no MeDiNa estão no artigo sobre módulo de resiliência (MR).

"Resiliência" no ensaio Charpy

Em francês técnico, résilience é a energia de ruptura por choque dividida pela área da seção sob o entalhe, em J/cm², notada KCU ou KCV. O termo entrou nesse sentido em textos antigos em português. Essa energia inclui deformação plástica e fratura, e mede a tenacidade ao entalhe, não a energia elástica. O ensaio está no artigo sobre ensaio de impacto.

"Resiliência à fratura" não existe

A expressão aparece em textos na internet, inclusive na versão anterior deste artigo, como se fosse a capacidade de resistir à propagação de uma trinca. Esse conceito existe, mas se chama tenacidade à fratura, K_IC, em MPa√m, e se mede com corpo de prova pré-trincado. Resiliência termina no escoamento e não envolve fratura; pelo mesmo motivo, não se mede num ensaio de impacto.

Como obter a resiliência no ensaio de tração

O módulo de resiliência sai de duas grandezas medidas no ensaio de tração: o módulo de elasticidade e o limite de escoamento. O procedimento tem quatro passos:

1. Medir a deformação com extensômetro, de classe 1 da ISO 9513 no mínimo. No aço, a deformação no escoamento é de poucos décimos de por cento, da ordem da folga das garras e da deformação da própria máquina; medida pelo deslocamento da travessa, ela sai inflada, o E sai subestimado e o U_r sai superestimado.
2. Determinar o E pelo ajuste de uma reta ao trecho linear, como descreve a ASTM E111.
3. Determinar o escoamento, R_eH ou R_p0,2, pela ISO 6892-1 ou pela ASTM E8/E8M.
4. Calcular U_r = σ_e² / (2E) ou integrar numericamente a curva até o escoamento.

Para polímeros e elastômeros, cujo trecho inicial não é reto, integra-se a curva medida pela ASTM D638 ou pela ISO 527-1 até a tensão de interesse.

Exercícios resolvidos

Os cinco exercícios seguem a ordem do artigo. Os aços usam E = 200 GPa.

Exercício 1: módulo de resiliência do aço mola

Aço SAE 5160 temperado e revenido a 425 °C, com σ_e = 1.462 MPa e E = 200 GPa. Calcule ε_e e U_r.

1. ε_e = σ_e / E = 1.462 / 200.000 = 0,00731 (0,73 %).
2. U_r = 1.462² / (2 × 200.000) = 2.137.444 / 400.000 = 5,34 MJ/m³.
3. Conferência: σ_e·ε_e / 2 = 1.462 × 0,00731 / 2 = 5,34 MJ/m³.

Exercício 2: aço 1020 contra alumínio 6061-T6

Compare o aço 1020 laminado a quente (205 MPa; 200 GPa; densidade 7,87 g/cm³) com o 6061-T6 (276 MPa; 68,9 GPa; densidade 2,70 g/cm³).

1. U_r do aço = 205² / 400.000 = 0,105 MJ/m³; do alumínio = 276² / 137.800 = 0,553 MJ/m³.
2. Por volume, o alumínio armazena 0,553 / 0,105 ≈ 5,3 vezes mais.
3. Por massa: aço 105.000 / 7.870 = 13,3 J/kg; alumínio 552.800 / 2.700 = 205 J/kg, cerca de 15 vezes mais.

Exercício 3: energia armazenada numa barra

Barra de 6061-T6 com diâmetro de 10 mm e comprimento de 500 mm, tracionada até σ_e = 276 MPa.

1. A = π × 10² / 4 = 78,54 mm²; V = 78,54 × 500 = 39.270 mm³ = 3,927 × 10⁻⁵ m³.
2. U = U_r·V = 552.800 J/m³ × 3,927 × 10⁻⁵ m³ = 21,7 J.
3. Conferência pela curva força-alongamento: F = 276 × 78,54 = 21.677 N; δ = (276 / 68.900) × 500 = 2,00 mm; U = F·δ / 2 = 21.677 × 0,002003 / 2 = 21,7 J.

Exercício 4: resiliência a partir de um ensaio de tração

Dados ilustrativos. Corpo de prova cilíndrico de aço com d₀ = 10,0 mm e extensômetro de L₀ = 50 mm. No trecho linear, F = 15,0 kN corresponde a ΔL = 0,0463 mm; o escoamento aparece em F = 25,1 kN.

1. A₀ = 78,54 mm²; σ = 15.000 / 78,54 = 191,0 MPa; ε = 0,0463 / 50 = 9,26 × 10⁻⁴.
2. E = 191,0 / 9,26 × 10⁻⁴ = 206.300 MPa ≈ 206 GPa.
3. σ_e = 25.100 / 78,54 = 319,6 MPa.
4. U_r = 319,6² / (2 × 206.300) = 102.144 / 412.600 = 0,248 MJ/m³ (248 kJ/m³).
5. No volume entre as facas do extensômetro, 78,54 × 50 = 3.927 mm³, a energia é 0,248 × 10⁶ × 3,927 × 10⁻⁶ ≈ 0,97 J.

O alongamento no escoamento é de só 0,077 mm: por isso o extensômetro é indispensável.

Exercício 5: escoamento mínimo para uma mola

Um aço para mola precisa de U_r ≥ 2,07 MJ/m³ (300 psi, requisito de um problema de Callister), com E = 200 GPa. Qual o escoamento mínimo, e quais materiais da tabela atendem?

1. σ_e = √(2·E·U_r) = √(2 × 200.000 × 2,07) = √828.000 = 910 MPa.
2. O 5160 revenido a 540 °C (1.041 MPa, 2,71 MJ/m³) atende; o 1020 trefilado (350 MPa, 0,306 MJ/m³) não.
3. O Ti-6Al-4V recozido tem escoamento de 880 MPa, abaixo dos 910, e mesmo assim atende (3,40 MJ/m³), porque o seu E é 113,8 GPa. O critério certo é o U_r, não o σ_e isolado.

Normas citadas

As normas abaixo definem as grandezas que entram na conta do módulo de resiliência ou os conceitos com que ele se confunde:

Norma	O que trata	Edição
ABNT NBR ISO 6892-1	tração de metais em temperatura ambiente: ReH, ReL, Rp0,2	2024
ISO 6892-1	tração de metais em temperatura ambiente	2019
ASTM E8/E8M	tração de metais, escoamento pelo offset	E8/E8M-25
ASTM E111	determinação do módulo de elasticidade	E111-17(2025)e1
ISO 9513	calibração e classes de extensômetros	2012
ASTM D638	tração de plásticos	D638-22
ISO 527-1	tração de plásticos, princípios gerais	2019
ABNT NBR 8800	projeto de estruturas de aço (E = 200 GPa)	2008
ISO 148-1	ensaio de impacto Charpy (a résilience francesa)	2016
ASTM E23	ensaio de impacto em metais com entalhe	E23-25
DNIT 134-ME	módulo de resiliência de solos (MR), triaxial de carga repetida	2018

Máquina para calcular a resiliência

Como o módulo de resiliência é calculado a partir do E e do escoamento, o equipamento é o mesmo do ensaio de tração: uma máquina universal de ensaios com célula de carga classe 1 e extensômetro no corpo de prova. A máquina universal Biopdi da linha M2 é eletromecânica, tem extensômetros clip-on e o software BioLab, que traça a curva e calcula E e escoamento. O painel abaixo mostra a máquina, o papel de cada parte no cálculo da resiliência e as garras usadas.

Para aço mola, fixadores e corpos de prova metálicos como o do exercício 4, o modelo indicado é a máquina universal de 5 a 50 kN (MBIOII-50-M2). Para borrachas e elastômeros, cuja resiliência exige integrar a curva inteira e cujo alongamento é grande, a versão de coluna estendida, de 2 a 10 kN, dá o curso necessário. No software BioLab, as fórmulas de cálculo personalizadas permitem criar grandezas próprias a partir de força, posição e extensômetro. As demais capacidades estão na página da máquina universal de ensaios.