Limite de proporcionalidade: o que é, diferença para limite elástico e escoamento e como medir

Em resistência dos materiais, limite de proporcionalidade é a maior tensão que um material suporta com tensão e deformação ainda diretamente proporcionais, ou seja, o fim do trecho reto da curva tensão-deformação. Até esse ponto vale a lei de Hooke: a tensão é igual ao módulo de elasticidade multiplicado pela deformação. Passar dele não significa, por si só, que o material ficou deformado para sempre. Nos metais, a ordem é limite de proporcionalidade ≤ limite elástico ≤ limite de escoamento convencional, e os dois primeiros quase coincidem. O valor é lido no início do diagrama tensão-deformação levantado no ensaio de tração.

O que é o limite de proporcionalidade

A definição usa duas grandezas do ensaio de tração. A tensão de engenharia é σ = F / S₀, a força dividida pela área inicial da seção; com força em newtons e área em mm², sai em N/mm², que é o mesmo que MPa. A deformação de engenharia é ε = ΔL / L₀, o alongamento dividido pelo comprimento de referência inicial. No ensaio, L₀ é a base de medida do extensômetro, o instrumento preso ao corpo de prova que mede o alongamento. A deformação é adimensional (mm/mm) e costuma ser dada em %.

Na foto, um extensômetro de fixação (clip-on) preso a um corpo de prova plano: as duas facas marcam o comprimento de referência, e só com essa medição se localiza o fim do trecho reto da curva.

Com σ no eixo vertical e ε no horizontal, os primeiros pontos de um metal caem sobre uma reta que parte da origem. O limite de proporcionalidade é onde essa reta termina. A ASTM E6, a norma de terminologia de ensaios mecânicos, define o termo como "a maior tensão que um material é capaz de suportar sem nenhum desvio da proporcionalidade entre tensão e deformação (lei de Hooke)". A ASTM E111, do módulo de elasticidade, e a ASTM D638, de plásticos, usam a mesma definição.

Nos livros o símbolo aparece como σ_LP, σ_p ou σ_pl. A ISO 6892-1, norma internacional de tração de metais, não tem símbolo para ele, porque não o determina; os motivos aparecem mais adiante.

Um erro difundido é tratar esse ponto como o início da deformação permanente. O fim do trecho reto é o fim da linearidade, não o fim da elasticidade; a deformação permanente é o critério de outro limite, o elástico, tratado adiante.

Lei de Hooke e módulo de elasticidade: até onde valem

Robert Hooke publicou a ideia em 1676, cifrada no anagrama "ceiiinosssttuu", e a explicou em 1678, em Lectures de Potentia Restitutiva, or Of Spring: "Ut tensio, sic vis", a força de uma mola está na mesma proporção que a sua distensão. Aplicada ao material, a lei de Hooke fica σ = E·ε, e a constante E é o módulo de elasticidade, ou módulo de Young.

O limite de proporcionalidade é, por definição, o teto de validade dessa equação. A ASTM E6 define o módulo como a razão entre tensão e deformação abaixo do limite de proporcionalidade, e a ASTM E111 manda calculá-lo com pontos desse trecho: E = Δσ / Δε = (σ₂ − σ₁) / (ε₂ − ε₁). Acima do limite, σ deixa de ser igual a E·ε, e uma conta de flecha ou de alongamento feita com E subestima a deformação real. A tabela traz o E de ligas comuns em temperatura ambiente, a inclinação do trecho reto de cada uma:

Liga	E (GPa)	Coeficiente de Poisson ν
Aço	207	0,30
Níquel	207	0,31
Cobre	110	0,34
Titânio	107	0,34
Latão	97	0,34
Alumínio	69	0,33
Magnésio	45	0,29

Os valores são do Callister e Rethwisch, Tabela 6.1. O coeficiente de Poisson, a razão entre a deformação lateral e a axial, também só existe abaixo do limite de proporcionalidade: acima dele, diz a ASTM E6, essa razão passa a depender da tensão e não deve ser tratada como coeficiente de Poisson. Para o aço, veja o módulo de elasticidade do aço.

O trecho reto também guarda energia. A área do triângulo sob ele é o módulo de resiliência, U_r = σ_LP² / (2E), a energia por volume que o material absorve e devolve ao ser descarregado. Muitos livros, como o Hibbeler, usam o escoamento no lugar de σ_LP como aproximação, e o exercício 3 mostra a diferença.

Limite de proporcionalidade e limite elástico: qual a diferença

O limite elástico responde a uma pergunta diferente. Pela ASTM E6, é "a maior tensão que um material é capaz de suportar sem que reste nenhuma deformação permanente após a remoção completa da carga". O limite de proporcionalidade olha a forma da curva durante a carga; o limite elástico olha o que sobra depois da descarga. Um material pode continuar elástico depois de deixar de ser linear, então o limite de proporcionalidade fica igual ou abaixo do elástico.

Medir o limite elástico é trabalhoso: exige carregar e descarregar o corpo de prova com cargas crescentes e conferir, a cada ciclo, se sobrou deformação. O resultado depende da sensibilidade da medição. Com instrumentos capazes de ver microdeformações da ordem de 2×10⁻⁶, obtém-se o chamado limite elástico verdadeiro, ligado ao movimento de poucas centenas de discordâncias, os defeitos da rede cristalina cujo deslizamento produz a deformação plástica. Com a sensibilidade usual de engenharia, perto de 10⁻⁴, o limite elástico sai acima do de proporcionalidade (ASM, via Total Materia). Quanto mais sensível o instrumento, mais baixo o valor.

Nos metais os dois limites quase coincidem, porque a perda de linearidade costuma vir do início do fluxo plástico (Roylance, MIT). Por isso muitos cursos adotam o mesmo valor para os dois, e Dieter observa que o de proporcionalidade costuma substituir o elástico, por ser mais fácil de obter. Nos elastômeros acontece o oposto: a borracha é elástica e não linear desde o início, o limite de proporcionalidade é baixo ou nem se define, e o limite elástico fica muito acima dele.

Limite de proporcionalidade é limite de escoamento?

Não. O limite de escoamento de engenharia é uma grandeza convencional: a ISO 6892-1:2019 define R_p como a tensão em que a extensão plástica atinge uma porcentagem especificada da base do extensômetro, em geral 0,2 %, o R_p0,2. Ele é obtido traçando uma reta paralela ao trecho reto, deslocada 0,2 % no eixo da deformação; o ponto onde ela corta a curva é o R_p0,2. Aços de baixo carbono mostram, em vez disso, um patamar, com um limite superior (R_eH) e um inferior (R_eL). O método completo, com exemplos, está no artigo sobre o limite elástico e limite de escoamento.

A confusão vem de o aço com patamar mostrar valores próximos e de resumos, inclusive de buscadores, descreverem o escoamento como "o ponto logo depois do limite de proporcionalidade, onde começa a deformação permanente". A deformação permanente começa logo acima do limite elástico, antes do R_p0,2, que por definição já carrega 0,2 % de deformação plástica. E o offset de 0,2 % é o dos metais; 2 % é o usual em plásticos.

Os símbolos do escoamento também variam. A ISO 6892-1 usa R_eH, R_eL e R_p0,2; os livros usam σ_y ou σ_e; a norma de vergalhão ABNT NBR 7480:2024 usa f_y e o valor característico f_yk.

O gráfico abaixo amplia o início da curva de uma liga sem patamar, calculada para passar pelos pontos do exercício 1, e marca os três limites em ordem. O ponto A é o fim do trecho reto, em cerca de 240 MPa. O ponto B é o limite elástico com sensibilidade de 0,01 %: descarregado por uma reta paralela à de Hooke, ele deixa essa deformação permanente, e fica em cerca de 280 MPa. O ponto C é o R_p0,2, onde a reta de offset corta a curva, em cerca de 303 MPa. O gráfico mostra também que a reta de descarga de B e a reta de offset de C são paralelas à reta de Hooke: as duas medem deformação permanente, uma de 0,01 % e outra de 0,2 %.

Os quatro limites do início da curva

Somando o limite elástico verdadeiro, são quatro valores no começo da curva, do mais baixo para o mais alto. A tabela resume o que cada um mede e onde é usado, segundo a ASM e Dieter:

Limite	O que define	Como se mede	Onde se usa
Elástico verdadeiro	primeira deformação permanente	microdeformação da ordem de 2×10⁻⁶	pesquisa
Proporcionalidade	fim da relação σ = E·ε	desvio da reta, com critério declarado	ensino, cálculo do módulo, regime linear
Elástico	maior σ sem deformação permanente mensurável	ciclos de carga e descarga	caracterização especial
Escoamento convencional	σ com 0,2 % de deformação plástica (Rp0,2) ou patamar (ReH, ReL)	reta de offset ou leitura do patamar	normas, especificação e projeto

Como determinar o limite de proporcionalidade no ensaio

O valor sai do ensaio de tração numa máquina universal. A célula de carga mede a força F, o extensômetro mede o alongamento ΔL na sua base de medida, e o software converte o par em σ e ε, desenha a curva e ajusta a reta do início. A dificuldade é que a curva se separa da reta aos poucos, e onde se declara a separação depende do instrumento e do critério.

Por que o valor depende do equipamento

A ASTM E6 traz uma nota sobre isso: os valores observados do limite de proporcionalidade variam muito com a sensibilidade e a precisão do equipamento, com a excentricidade da carga e com a escala do gráfico. Por isso, quando o valor for exigido, o procedimento e a sensibilidade do equipamento precisam ser especificados. Em metais sem patamar, como o alumínio, o cobre e os aços inoxidáveis, a saída da reta é gradual, e o "ponto" depende inteiramente do critério.

O começo da curva também tem ruído próprio. Nos primeiros instantes o corpo de prova se acomoda nas garras e as folgas se fecham; a ISO 6892-1 permite uma pré-carga de até 5 % do escoamento esperado para alinhar o conjunto. Nos polímeros há uma região inicial curva, a região de acomodação. A ASTM E111 manda começar o ajuste acima de uma pré-carga, para que esse trecho não entre na reta.

Ajuste da reta e critério de desvio

Há quatro formas documentadas de achar a reta e o seu fim:

1. Gráfica (ASTM E111, 9.2): traça-se a reta no trecho linear e escolhem-se dois pontos o mais afastados possível, ambos abaixo do limite.
2. Regressão por mínimos quadrados (ASTM E111, 9.3): ajusta-se a reta aos pares (σ, ε) do trecho e avalia-se a variabilidade da inclinação, pelo coeficiente de variação ou pelo intervalo de confiança.
3. Critério de desvio: o limite é o primeiro ponto em que a curva se afasta da reta mais que um valor definido antes do ensaio. Um exemplo publicado é a queda de 2 % na inclinação em relação ao regime elástico (Brannigan, 2015, em ligas biocompatíveis). Nenhuma norma fixa um critério único; o que a ASTM E6 exige é declarar o que foi usado.
4. Algoritmo objetivo (ASTM E3076-25): o método SDAR procura a região mais linear do registro pelo menor resíduo normalizado e aplica métricas de ruído, resolução e qualidade do ajuste. O objetivo declarado é tirar do operador a escolha do trecho linear.

O limite elástico, ao contrário, não sai dessas construções: exige os ciclos de carga e descarga descritos na seção anterior.

Extensômetro, não travessa

O deslocamento da travessa da máquina soma ao alongamento do corpo de prova a folga das garras e a deformação da própria máquina. O resultado é uma reta mais deitada, com módulo aparente muito abaixo do real, e um fim de trecho reto em outro lugar; o exercício 5 mede o tamanho do erro. A ISO 6892-1:2019 torna o extensômetro obrigatório para determinar R_p e exige classe 1 da ISO 9513 para R_p, com sistema de força classe 1 da ISO 7500-1. A base do extensômetro deve cobrir o máximo possível do comprimento paralelo, e o alinhamento do corpo de prova pesa na medição do escoamento. Para o limite de proporcionalidade, mais embaixo na curva, valem com mais razão.

Por que as normas especificam o escoamento, e não o limite de proporcionalidade

A ISO 6892-1:2019, base da ABNT NBR ISO 6892-1:2024, determina o limite superior e o inferior de escoamento, as tensões convencionais como o R_p0,2 e o limite de resistência, e não tem cláusula para o limite de proporcionalidade. O escopo da ASTM E8/E8M-25 também não o inclui: cobre escoamento, limite de resistência à tração, alongamento e redução de área. A razão está na nota da ASTM E6: um valor que muda com o equipamento não serve para aceitar lote nem comparar fornecedores. O offset, segundo a ASM, existe para evitar as dificuldades práticas de medir o limite elástico ou o de proporcionalidade.

O vergalhão CA-50 ilustra a escolha: a ABNT NBR 7480:2024 o especifica por f_yk ≥ 500 MPa, um escoamento. O limite de proporcionalidade continua importante no projeto, como fronteira de validade das contas feitas com E: molas, células de carga e extensômetros de resistência elétrica trabalham bem abaixo dele, justamente para responder de forma linear.

Materiais sem trecho reto

Nem todo material tem um trecho reto nítido. Para esses, a ASTM E6 recomenda trabalhar com outros módulos, sempre declarando os pontos usados: o tangente, inclinação da curva num ponto; o secante, inclinação da reta que liga a origem a um ponto da curva; e o de corda, inclinação da reta entre dois pontos da curva. Por material:

• Ferro fundido cinzento e cobre recozido: praticamente não têm porção linear. O offset não se aplica, e o escoamento é definido pela tensão com deformação total especificada, por exemplo 0,5 % (ASM).
• Plásticos: a ISO 527-1:2019 define o módulo de tração E_t como a inclinação entre ε = 0,05 % e ε = 0,25 %, por corda ou por regressão, sem depender de um limite de proporcionalidade.
• Concreto: a ABNT NBR 8522-1:2021 determina o módulo tangente inicial E_ci como um módulo de corda entre 0,5 MPa e 30 % da resistência à compressão, depois de ciclos de pré-carga. O artigo sobre o módulo de elasticidade do concreto trata do ensaio.
• Elastômeros: são elásticos e não lineares; o limite de proporcionalidade é baixo ou não se define, e o elástico fica muito acima.
• Cerâmicas e vidro: a curva é praticamente linear até a fratura (Roylance), sem limite de proporcionalidade separado da ruptura.

Exercícios resolvidos

Os cinco exercícios usam dados ilustrativos, construídos para o artigo e conferidos à mão; não são uma medição real. Os três primeiros seguem o mesmo corpo de prova de aço, do limite ao módulo e à energia; o quarto aplica a lei de Hooke a uma barra de alumínio, e o último mostra o erro de medir pela travessa.

Exercício 1: achar o limite de proporcionalidade numa tabela de ensaio

Corpo de prova de aço com d₀ = 10,0 mm, portanto S₀ = π × 10,0² / 4 = 78,54 mm². O alongamento foi medido com extensômetro clip-on de base L₀ = 50 mm. Critério declarado antes do ensaio: o limite de proporcionalidade é o último ponto cuja tensão fica a menos de 1 % da reta σ = E·ε, com E = 200 GPa (a inclinação dos primeiros pontos, calculada no exercício 2). A tabela traz os oito pontos registrados, a tensão medida e a tensão que a reta prevê para a mesma deformação:

F (kN)	ΔL (mm)	σ = F / S0 (MPa)	Reta E·ε (MPa) e desvio
3,14	0,010	40,0	40 (0 %)
6,28	0,020	80,0	80 (0 %)
9,42	0,030	119,9	120 (0 %)
12,57	0,040	160,0	160 (0 %)
15,71	0,050	200,0	200 (0 %)
18,85	0,060	240,0	240 (0 %)
21,50	0,070	273,7	280 (−2,2 %)
22,30	0,080	283,9	320 (−11,3 %)

1. Em cada linha, ε = ΔL / 50 e σ = F / 78,54; a reta dá 200.000·ε. Na sexta linha, ε = 0,060 / 50 = 0,0012 e σ = 18.850 / 78,54 = 240,0 MPa, igual aos 240 MPa da reta.
2. Na sétima linha, a reta prevê 280 MPa e o ensaio deu 273,7 MPa: desvio de (273,7 − 280) / 280 = −2,2 %, fora do critério.
3. O último ponto dentro de 1 % é o de F = 18,85 kN. Logo, σ_LP ≈ 240 MPa.

O valor real está entre 240 e 274 MPa, e para estreitar essa faixa é preciso aquisição mais densa. Com um critério de 3 %, o ponto de 273,7 MPa também seria aceito e o limite subiria para 274 MPa: é exatamente o efeito que a nota da ASTM E6 descreve. O gráfico abaixo mostra os oito pontos sobre a reta de Hooke e a faixa de 1 %: os seis primeiros ficam dentro dela, e os dois últimos, marcados em vermelho, ficam abaixo.

Exercício 2: módulo de elasticidade no trecho reto

Pelo método gráfico da ASTM E111, usam-se os dois pontos mais afastados do trecho linear do exercício 1: (3,14 kN; 0,010 mm) e (18,85 kN; 0,060 mm).

1. Δσ = (18.850 − 3.140) N / 78,54 mm² = 200,0 MPa.
2. Δε = (0,060 − 0,010) / 50 = 0,0010.
3. E = 200,0 / 0,0010 = 200.000 MPa = 200 GPa, coerente com os 207 GPa do aço na Tabela 6.1 do Callister.

Exercício 3: módulo de resiliência

Com σ_LP = 240 MPa e E = 200.000 MPa: U_r = 240² / (2 × 200.000) = 57.600 / 400.000 = 0,144 MJ/m³ (0,144 MPa). Se a conta usasse o R_p0,2, maior que σ_LP, o resultado subiria; é por isso que os livros chamam essa substituição de aproximação.

Exercício 4: a lei de Hooke só abaixo do limite

Barra de alumínio com E = 69 GPa, comprimento L = 200 mm, sob σ = 100 MPa. Admite-se que o limite de proporcionalidade da liga é maior que 100 MPa, o que precisa ser conferido em ensaio.

1. ε = 100 / 69.000 = 1,449×10⁻³.
2. δ = ε·L = 1,449×10⁻³ × 200 = 0,29 mm.

Se a tensão passasse do limite de proporcionalidade, a mesma conta subestimaria o alongamento, porque a curva real fica abaixo da reta.

Exercício 5: por que não medir pela travessa

No mesmo ensaio do exercício 1, com 15,71 kN (σ = 200 MPa) o extensômetro indica 0,050 mm em 50 mm, ε = 0,0010. Suponha que, no mesmo instante, a travessa indique 0,35 mm para um comprimento livre de 50 mm; o valor é hipotético e inclui a folga das garras e a deformação da máquina.

1. Deformação pela travessa: 0,35 / 50 = 0,007.
2. Módulo aparente: 200 / 0,007 = 28,6 GPa, cerca de 7 vezes menor que os 200 GPa reais.

Com a reta errada, o ponto em que a curva sai dela também muda: os três limites do início da curva só saem certos com extensômetro.

Normas citadas

A tabela reúne as normas citadas no artigo, com a edição vigente. As ASTM e ISO têm link para a página oficial; as ABNT são adoções brasileiras ou normas nacionais.

Norma	O que trata	Edição
ASTM E6	terminologia de ensaios mecânicos (limite de proporcionalidade, limite elástico, módulo)	E6-25
ASTM E111	módulo de Young, módulo tangente e módulo de corda	E111-17(2025)e1
ASTM E3076	inclinação da região linear de um registro de ensaio (SDAR)	E3076-25
ASTM E8/E8M	tração de metais	E8/E8M-25
ASTM D638	tração de plásticos	D638-22
ISO 6892-1	tração de metais em temperatura ambiente	2019
ABNT NBR ISO 6892-1	tração de metais em temperatura ambiente	2024
ISO 9513	calibração e classe de extensômetros	2012
ABNT NBR ISO 9513	calibração e classe de extensômetros	2013
ABNT NBR ISO 7500-1	verificação do sistema de força da máquina	2023
ISO 527-1	tração de plásticos, princípios gerais	2019
ABNT NBR 8522-1	módulos estáticos do concreto à compressão	2021
ABNT NBR 7480	aço para armaduras de concreto armado	2024

Máquina para medir o limite de proporcionalidade

Medir o limite de proporcionalidade é medir o início da curva com precisão, e nesse trecho o extensômetro é indispensável: sem ele, o trecho reto sai com a inclinação errada e termina no lugar errado. A máquina universal Biopdi da linha M2 tem 15 capacidades, de 200 N a 1.000 kN, célula de carga classe 1 conforme a ABNT NBR ISO 7500-1:2023, extensômetros clip-on de 25, 50, 80 e 100 mm para pequenas deformações e o software BioLab. O painel abaixo mostra a máquina, o papel de cada parte na leitura do trecho reto e as garras usadas.

Para metais, chapas e compósitos como o aço dos exercícios, o modelo indicado é a máquina universal de 50 kN; para vergalhões, a máquina de 100 a 200 kN. No software BioLab, as fórmulas de cálculo personalizadas permitem criar grandezas próprias a partir de força, posição e extensômetro, como o desvio em relação à reta do exercício 1. As demais capacidades estão na página da máquina universal de ensaios.