Lei de Hooke: fórmula, gráfico e exercícios resolvidos

A Lei de Hooke diz que, dentro do regime elástico, a deformação de um corpo é proporcional à força que a provoca. Na mola, ela é escrita F = k·x: a força elástica F (em newtons) é igual à constante elástica k (em N/m) vezes a deformação x (em metros). Nos materiais, a mesma proporcionalidade aparece como σ = E·ε: a tensão é igual ao módulo de elasticidade vezes a deformação específica.

Em uma frase: a Lei de Hooke diz que, no regime elástico linear, a força é proporcional à deformação (F = k·x) e a tensão é proporcional à deformação específica (σ = E·ε), e vale só até o limite de proporcionalidade do material, que se mede no ensaio de tração.

Este guia cobre as duas formas da lei. Primeiro vêm a mola, o gráfico, a constante elástica e o experimento. Depois vêm a forma usada na resistência dos materiais, a forma generalizada para tensões em três direções, os limites de validade da lei, como o módulo de elasticidade é medido numa máquina universal de ensaios e sete exercícios resolvidos.

Na foto, um corpo de prova de aço preso nas garras de uma máquina universal, com o extensômetro fixado no trecho útil. É esse instrumento que mede as deformações muito pequenas do trecho em que a Lei de Hooke vale.

A tabela resume as duas formas da lei, a relação que liga uma à outra, k = E·A/L, explicada na seção sobre a constante elástica, e a forma generalizada para peças sob tensão em mais de uma direção.

Forma	Fórmula	Constante	Onde se usa
Mola	F = −k·x	k, constante elástica (N/m)	Molas, dinamômetros, física do ensino médio
Materiais	σ = E·ε	E, módulo de elasticidade (GPa)	Ensaio de tração, resistência dos materiais, projeto estrutural
Ponte entre as duas	k = E·A/L	depende do material (E) e da forma da peça (A e L)	Barras, cabos e peças sob carga axial
Lei de Hooke generalizada (3D)	εx = [σx − ν(σy + σz)]/E	E e ν (e G = E/[2(1 + ν)])	Peças sob tensão em mais de uma direção, strain gauges, elementos finitos

O que é a Lei de Hooke

A Lei de Hooke é a relação linear entre força e deformação num corpo elástico. Se uma força de 10 N estica uma mola 2 cm, uma força de 20 N estica a mesma mola 4 cm. Ao retirar a força, a mola volta ao comprimento original. Essa volta completa é o que define o comportamento elástico.

Essa proporcionalidade está por trás de muitos cálculos de engenharia. É ela que permite usar uma mola como instrumento de medida, nos dinamômetros e nas balanças de mola, e dimensionar molas de suspensão de veículos e de mecanismos como os de relógios. Uma mola de suspensão com k = 15.000 N/m, comprimida 10 cm pelo peso do carro, exerce 15.000 × 0,10 = 1.500 N. Nas estruturas, a mesma lei, escrita em tensão e deformação, é usada para calcular quanto vigas, pilares e cabos de pontes e edifícios se deformam sob a carga de serviço, desde que trabalhem no regime elástico.

A lei leva o nome do inglês Robert Hooke (1635-1703), membro da Royal Society. Em 1676, ele publicou a descoberta em forma de anagrama, "ceiiinosssttuv", no fim do livro A Description of Helioscopes, and Some Other Instruments. Era um jeito de garantir a prioridade sem revelar a ideia. Em 1678 veio a solução, no livro Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring: "ut tensio, sic vis", que quer dizer "como a extensão, assim a força". No mesmo texto, Hooke escreve que a força de qualquer mola está na mesma proporção da sua extensão.

A forma usada hoje na engenharia veio depois. Em 1807, Thomas Young descreveu a constante que relaciona tensão e deformação de um material, o que hoje se chama módulo de elasticidade ou módulo de Young. A ideia já aparecia em trabalhos de Euler (1727) e de Giordano Riccati (1782). É por isso que a mesma lei tem duas caras: a da mola, que se aprende na física, e a do material, que se mede no laboratório.

Fórmula da Lei de Hooke

A fórmula da Lei de Hooke para a mola é:

F = −k · x

A deformação x é a diferença entre o comprimento da mola deformada, L, e o seu comprimento livre, L₀: positiva quando a mola é alongada, negativa quando é comprimida. A tabela reúne os símbolos e as unidades no SI:

Símbolo	Grandeza	Unidade no SI
F	Força elástica, que a mola exerce	newton (N)
k	Constante elástica da mola	newton por metro (N/m)
x	Deformação, ou elongação: x = L − L0	metro (m)

Por que o sinal negativo? Ele indica que a força elástica tem sentido oposto ao da deformação. Se a mola é alongada para baixo, a força elástica atua para cima; se é comprimida, atua no sentido de estendê-la de volta. Por isso se diz que a força elástica é restauradora. O sinal não quer dizer que k seja negativo. Na maioria dos exercícios só interessa a intensidade, e a fórmula é usada como F = k·x.

O que significa k? A constante elástica é a força necessária para deformar a mola em 1 metro. Uma mola de k = 200 N/m precisa de 200 N para esticar 1 m, ou de 10 N para esticar 5 cm. Quanto maior o k, mais rígida a mola.

Cuidado com as unidades. O erro mais comum nos exercícios é usar a deformação em centímetros com k em N/m. Converta sempre: 5 cm = 0,05 m.

A mola esticada armazena energia potencial elástica, dada por E_p = ½·k·x². É a mesma energia que o material devolve ao ser descarregado, a base do conceito de resiliência dos materiais.

Gráfico da Lei de Hooke

O gráfico da Lei de Hooke é uma reta que passa pela origem. No eixo horizontal fica a deformação x; no vertical, a força F. Três leituras saem direto do gráfico:

• A inclinação da reta é a constante elástica: k = ΔF / Δx. Reta mais inclinada, mola mais rígida.
• A área sob a reta é a energia elástica armazenada, ½·k·x² (a área de um triângulo).
• O fim da reta é o limite da lei, o limite de proporcionalidade, detalhado mais adiante. A partir dali a mesma força produz mais deformação, e passado o limite elástico a mola não volta mais ao tamanho original.

O gráfico abaixo mostra essas leituras numa mola de 200 N/m, que segue a reta até 12 cm de alongamento. Até ali, dobrar a força dobra o alongamento. Depois, a curva se deita: a mola cede mais do que F = k·x prevê e fica com deformação permanente.

Na simulação abaixo você pendura massas numa mola e vê isso acontecer, e também aplica tensão num corpo de prova de aço, alumínio, cobre ou polipropileno.

Constante elástica: o que torna uma mola mais rígida

A constante elástica não é uma propriedade do material. Ela é a rigidez da peça, e depende do material e da geometria. Duas barras do mesmo aço, com a mesma seção e comprimentos de 1 m e 2 m, têm o mesmo módulo de elasticidade, mas a barra de 2 m tem metade da constante elástica. Para uma barra sob tração ou compressão:

k = E · A / L

onde E é o módulo de elasticidade do material (a rigidez do próprio material, tratada na seção sobre σ = E·ε), A é a área da seção e L é o comprimento. Numa mola helicoidal, o fio trabalha em torção, e a constante depende do módulo de cisalhamento G, o equivalente de E para a torção: k = G·d⁴ / (8·D³·n), com d o diâmetro do fio, D o diâmetro médio da espira e n o número de espiras ativas. Fio mais grosso deixa a mola muito mais rígida (a quarta potência de d); espira mais larga e mais espiras deixam a mola mais macia.

A foto abaixo mostra esse efeito em quatro molas helicoidais de aço: do mesmo material, elas vão da mais flexível à mais rígida conforme o fio fica mais grosso.

Associação de molas. Quando duas molas trabalham juntas, a constante equivalente depende de como estão ligadas. Em série, uma depois da outra, as duas recebem a mesma força e as deformações se somam, por isso o conjunto cede mais que cada mola sozinha. Em paralelo, lado a lado, as duas sofrem a mesma deformação e as forças se somam, por isso o conjunto é mais rígido. A tabela resume as fórmulas:

Associação	Constante equivalente	Efeito
Em série (uma depois da outra)	1/keq = 1/k1 + 1/k2	Conjunto mais macio que a mola mais macia
Em paralelo (lado a lado)	keq = k1 + k2	Conjunto mais rígido: as constantes se somam

Experimento da Lei de Hooke passo a passo

O experimento clássico mede a constante elástica de uma mola com material simples de laboratório:

1. Prenda a mola num suporte vertical, com uma escala ao lado, e anote o comprimento inicial L₀.
2. Pendure uma massa conhecida, espere a mola parar e anote o novo comprimento L. A deformação é x = L − L₀.
3. Repita com massas maiores (por exemplo 50, 100, 150 e 200 g).
4. Calcule a força de cada ponto, que é o peso: F = m·g, com g = 9,8 m/s² e a massa em quilogramas.
5. Monte o gráfico F × x. Se os pontos ficarem alinhados numa reta que passa pela origem, a mola obedece à Lei de Hooke.
6. A inclinação da reta é k. Com dados reais, que têm dispersão, calcule a inclinação por regressão linear em vez de usar um único ponto.

A foto mostra essa montagem: a mola presa no suporte, as massas aferidas penduradas na ponta e a escala ao lado para ler o comprimento.

As principais fontes de erro são ler a escala com a mola ainda oscilando, a paralaxe na leitura e usar massas pesadas demais, que levam a mola além do limite elástico. Ao retirar as massas, confira se a mola voltou a L₀: se não voltou, os últimos pontos já estavam fora da lei. O mesmo raciocínio, com instrumentos muito mais precisos, é o do ensaio de tração numa máquina universal de ensaios.

Lei de Hooke na resistência dos materiais: σ = E·ε

Na engenharia, comparar forças e alongamentos não basta, porque eles dependem do tamanho da peça. Por isso a Lei de Hooke é escrita em grandezas que independem da geometria:

• Tensão: σ = F / A₀, a força dividida pela área inicial da seção, em pascal (usualmente MPa).
• Deformação específica: ε = ΔL / L₀, o alongamento dividido pelo comprimento inicial, adimensional (ou em %).
• Módulo de elasticidade: E, a constante de proporcionalidade, em pascal (usualmente GPa).

σ = E · ε

No diagrama tensão-deformação, o módulo de elasticidade é a inclinação do trecho reto inicial. Diferente da constante k, ele é uma propriedade do material: praticamente não muda com a forma da peça. Substituindo essas duas definições em σ = E·ε, chega-se ao alongamento de uma barra sob carga axial, δ = F·L / (E·A). É a mesma relação k = E·A/L vista na constante elástica, escrita para o alongamento, e é a equação mais usada no dimensionamento no regime elástico.

A Lei de Hooke também vale para o cisalhamento, na forma τ = G·γ, com G o módulo de cisalhamento. Em materiais isotrópicos, G, E e o coeficiente de Poisson ν se relacionam por G = E / [2(1 + ν)].

A tabela reúne os três parâmetros para metais comuns. Ela mostra, por exemplo, que o aço é cerca de três vezes mais rígido que o alumínio: sob a mesma tensão, uma barra de alumínio deforma três vezes mais.

Metal	Módulo de elasticidade E (GPa)	Módulo de cisalhamento G (GPa)	Coeficiente de Poisson ν
Aço	207	83	0,30
Níquel	207	76	0,31
Cobre	110	46	0,34
Titânio	107	45	0,34
Latão	97	37	0,34
Alumínio	69	25	0,33
Magnésio	45	17	0,29
Tungstênio	407	160	0,28

Valores à temperatura ambiente, de Callister e Rethwisch, Materials Science and Engineering (Tabela 6.1). O módulo de elasticidade do aço fica perto de 200 GPa e varia pouco com o teor de carbono e o tratamento térmico. Nos polímeros o valor é muito menor e varia com o processo: polipropileno fica em torno de 1,1 a 2 GPa, policarbonato em torno de 2,4 GPa e polietileno de baixa densidade entre 0,1 e 0,5 GPa. No concreto, a ABNT NBR 6118 estima o módulo inicial pela resistência característica, E_ci = α_E·5600·√f_ck (em MPa), como explicado no artigo sobre o módulo de elasticidade do concreto.

Lei de Hooke generalizada: tensões em três direções

A lei de Hooke generalizada é a extensão da lei de Hooke para o estado triaxial de tensões: num material elástico linear, homogêneo e isotrópico, sob pequenas deformações, cada deformação normal depende das três tensões normais, porque cada tensão alonga o material na sua direção e, pelo efeito de Poisson, o encurta nas outras duas.

A seção anterior tratou de uma tensão de cada vez: σ = E·ε na direção da carga e τ = G·γ no cisalhamento. Numa peça real, um ponto costuma estar sob tensões em mais de uma direção, como na parede de um vaso de pressão, na superfície de um eixo ou num bloco comprimido dentro de uma matriz. A lei generalizada resolve esse caso por superposição: calcula a deformação causada por σ_x sozinha, depois a causada por σ_y e por σ_z, e soma. As constantes são as mesmas do ensaio de tração, o módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson ν. A consequência aparece no próprio ensaio de tração, e os slides de Resistência dos Materiais da UFJF a resumem assim: "um estado uniaxial de tensão gera um estado triaxial de deformação".

O esquema abaixo mostra a superposição num cubo elementar. Nos três primeiros cubos, uma tensão de tração age sozinha: o cubo alonga na direção dela e encurta nas outras duas. No quarto, as três agem juntas, e cada dimensão final é a soma dos três efeitos. Com as tensões do exemplo, a dimensão z encurta mesmo sob tração em z, porque a contração de Poisson causada por σ_x e σ_y supera o alongamento direto.

As seis equações do material isotrópico

Somando os três efeitos em cada direção, chega-se às três equações das deformações normais. As três de cisalhamento são independentes delas: cada tensão de cisalhamento produz só a distorção do seu próprio plano.

• ε_x = [σ_x − ν(σ_y + σ_z)]/E
• ε_y = [σ_y − ν(σ_x + σ_z)]/E
• ε_z = [σ_z − ν(σ_x + σ_y)]/E
• γ_xy = τ_xy/G, γ_yz = τ_yz/G e γ_zx = τ_zx/G, com G = E/[2(1 + ν)]

A relação entre G, E e ν é deduzida passo a passo no artigo sobre o módulo de cisalhamento. As equações acima, presentes nas apostilas de Resistência dos Materiais da UFJF e da UFF, valem sob estas hipóteses:

• Regime elástico linear: todas as tensões abaixo do limite de proporcionalidade, tratado na próxima seção.
• Pequenas deformações: é o que permite somar os efeitos sem que um altere a geometria sobre a qual o outro age.
• Material homogêneo e isotrópico: as mesmas propriedades em todos os pontos e em todas as direções. Os metais policristalinos atendem a isso na prática, porque os grãos têm orientação aleatória; madeira e compósitos, não.
• Efeitos desacoplados: no material isotrópico, a tensão de cisalhamento não altera as deformações normais, e a tensão normal não causa distorção.

O erro mais comum é aplicar σ = E·ε direção por direção num estado biaxial. No bloco de aço do Exercício 6, com σ_x = 120 MPa e σ_y = −60 MPa, a conta uniaxial dá ε_x 13% abaixo do valor correto, porque ignora que a compressão em y alonga o bloco em x.

Forma matricial: flexibilidade e rigidez

As mesmas equações cabem numa matriz, que é a forma usada por programas de elementos finitos e planilhas de cálculo. Na forma de flexibilidade, as deformações saem das tensões: {ε} = [S]{σ}. A tabela mostra o bloco das tensões normais: cada linha é uma deformação, e cada coluna, a contribuição de uma tensão. É a superposição do esquema acima, escrita termo a termo.

Deformação	Termo de σx	Termo de σy	Termo de σz
εx	1/E	−ν/E	−ν/E
εy	−ν/E	1/E	−ν/E
εz	−ν/E	−ν/E	1/E

A matriz completa é 6 × 6, com as seis tensões (σ_x, σ_y, σ_z, τ_yz, τ_zx, τ_xy) e as seis deformações. O bloco de cisalhamento é diagonal: cada distorção depende só da sua tensão, e o termo da diagonal é 1/G = 2(1 + ν)/E. Os termos que ligariam tensão normal a distorção, e cisalhamento a deformação normal, são zero no material isotrópico.

Invertendo a matriz, as tensões saem das deformações: {σ} = [C]{ε}, a forma de rigidez. Todos os termos do bloco normal levam o fator E/[(1 + ν)(1 − 2ν)], e a tabela mostra o que multiplica esse fator em cada posição:

Tensão	Termo de εx	Termo de εy	Termo de εz
σx	1 − ν	ν	ν
σy	ν	1 − ν	ν
σz	ν	ν	1 − ν

No bloco de cisalhamento da rigidez, o termo da diagonal é o mesmo fator vezes (1 − 2ν)/2, que é igual a G: volta-se a τ = G·γ. Para o aço, com E = 200 GPa e ν = 0,3, o fator vale 200/(1,3 × 0,4) = 384,6 GPa, e o bloco normal fica com 269,2 GPa na diagonal e 115,4 GPa fora dela. As duas matrizes estão nos slides 11 e 12 da UFJF.

Distorção γ e deformação tensorial: o fator 2

Nas matrizes acima, o cisalhamento entra pela distorção de engenharia γ, o ângulo que o canto do cubo perde, em radianos. A forma tensorial da deformação usa outra grandeza: a componente de cisalhamento do tensor é ε_xy = γ_xy/2. As duas descrevem a mesma distorção, mas trocar uma pela outra erra a tensão de cisalhamento por um fator 2. O alerta está no slide 12 da UFJF. Na prática, vale conferir na documentação do software de elementos finitos ou de extensometria qual das duas ele pede como entrada e qual ele exporta.

Constantes de Lamé e forma tensorial

Na teoria da elasticidade e na geofísica, a lei generalizada costuma ser escrita com as tensões em função das deformações, usando as constantes de Lamé λ e μ, como na apostila de Constantes Elásticas do IAG-USP:

• σ_x = λ(ε_x + ε_y + ε_z) + 2μ·ε_x, e da mesma forma para y e z;
• τ_xy = 2μ·ε_xy = μ·γ_xy, e da mesma forma para os outros dois planos;
• em notação compacta, σ_ij = λ·ε_kk·δ_ij + 2μ·ε_ij, em que ε_kk é a soma das três deformações normais e δ_ij vale 1 quando i = j e 0 nos outros casos.

A segunda constante é o próprio módulo de cisalhamento, μ = G. A primeira se liga às constantes de engenharia por λ = K − 2G/3, o que dá λ = E·ν/[(1 + ν)(1 − 2ν)]. É exatamente o termo fora da diagonal da matriz de rigidez: 115,4 GPa para o aço do exemplo anterior. Somando λ ao termo 2μ, sai a diagonal, 115,4 + 2 × 76,9 = 269,2 GPa, o que confere as duas formas.

Na forma mais geral, σ_ij = C_ijkl·ε_kl. O tensor de rigidez C tem 81 componentes, e as simetrias das tensões, das deformações e da energia de deformação reduzem esse número a 21 constantes independentes no material anisotrópico mais geral. Cada simetria do material reduz a conta, segundo o tutorial de Nemeth publicado pela NASA (NASA/TM-2011-217314): 9 constantes no material ortotrópico, como a madeira e o laminado unidirecional, 5 no transversalmente isotrópico, 3 no cúbico e só 2 no isotrópico. No isotrópico, qualquer par entre E, ν, G, K e λ define os demais. O comportamento da madeira e dos compósitos, com um coeficiente de Poisson para cada par de direções, está no artigo sobre o coeficiente de Poisson, na seção de materiais anisotrópicos.

Estado plano de tensão e estado plano de deformação

Muitos problemas de engenharia são resolvidos em duas dimensões, e a lei generalizada diz o que acontece na terceira. Há dois casos opostos, e confundir um com o outro é um erro frequente:

• Estado plano de tensão (σ_z = τ_zx = τ_yz = 0): chapas finas e a superfície livre de qualquer peça, onde se cola o strain gauge. As tensões no plano saem das deformações por σ_x = E/(1 − ν²)·(ε_x + ν·ε_y), σ_y = E/(1 − ν²)·(ε_y + ν·ε_x) e τ_xy = G·γ_xy. A tensão em z é zero, mas a deformação não: ε_z = −ν(σ_x + σ_y)/E.
• Estado plano de deformação (ε_z = γ_zx = γ_yz = 0): peças longas, de seção constante e impedidas de deformar no comprimento, como muros de arrimo, túneis, barragens e tubos enterrados. A deformação em z é zero, mas a tensão não: σ_z = ν(σ_x + σ_y).

As expressões estão nos slides 13 e 14 da UFJF. A do estado plano de tensão é a que converte as leituras de uma roseta em tensões, conta feita passo a passo no artigo sobre extensômetro e strain gauge. O bloco de aço do Exercício 6 está nesse estado: a espessura diminui 0,0018 mm sem nenhuma tensão em z.

Deformação volumétrica e módulo volumétrico

Somando as três equações normais, sai a variação relativa de volume. Em pequenas deformações, ela é a soma das três deformações normais: ε_V = ΔV/V ≈ ε_x + ε_y + ε_z = (1 − 2ν)/E·(σ_x + σ_y + σ_z). Duas consequências saem direto da fórmula, como mostram as apostilas da UFJF e da UFF: o cisalhamento não muda o volume, e um estado em que a soma das tensões normais é zero também não muda.

Sob pressão hidrostática p, com σ_x = σ_y = σ_z = −p, a mesma expressão dá ε_V = −3p(1 − 2ν)/E. A razão entre a pressão e a perda relativa de volume é o módulo volumétrico, K = −p/ε_V = E/[3(1 − 2ν)]. Com ν = 0,5, K vai ao infinito e o material é incompressível. Os valores de K e de G para o aço e o concreto, e o porquê do limite de 0,5, estão no artigo sobre o coeficiente de Poisson, na seção sobre a relação entre E, G, K e ν.

Rigidez confinada: por que o material travado nas laterais parece mais rígido

Um caso que as fórmulas não mostram à primeira vista é o do material impedido de se expandir para os lados, como o solo no anel do edômetro ou um coxim entre paredes rígidas. Com ε_x = ε_y = 0 e carga só em z, as duas primeiras equações dão a tensão que as paredes exercem, σ_x = σ_y = ν/(1 − ν)·σ_z, e a terceira dá ε_z = σ_z/M, com:

M = E(1 − ν)/[(1 + ν)(1 − 2ν)] = λ + 2G

M é o módulo confinado, ou edométrico. É a rigidez que o ensaio de adensamento (edométrico) calcula como E_oed = 1/m_v, com a deformação lateral impedida pelo anel. A tabela mostra quanto M passa de E conforme o coeficiente de Poisson, com valores de ν que o site usa para cada material:

ν	M/E = (1 − ν)/[(1 + ν)(1 − 2ν)]	Material de referência
0,20	1,11	concreto (ν da NBR 6118)
0,30	1,35	aço (ν da NBR 8800)
0,40	2,14	polímero rígido (faixa de 0,33 a 0,40)
0,49	17,1	borracha (faixa de 0,48 a 0,5)

Até ν = 0,3 o ganho é moderado; perto de 0,5, ele dispara. É por isso que um coxim de borracha confinado entre placas rígidas é muitas vezes mais rígido do que com as laterais livres, e é por isso que o módulo edométrico de um solo não é o E de um ensaio de compressão sem confinamento. Em solo, a ligação com E e ν é só aproximada: o comportamento não é linear, e o módulo vale apenas para a faixa de tensões do estágio em que foi calculado. O Exercício 7 aplica a conta a um bloco de polímero.

Lei de Hooke generalizada com variação de temperatura

Quando a temperatura muda, cada deformação normal ganha a dilatação térmica livre: ε_x = [σ_x − ν(σ_y + σ_z)]/E + α·ΔT, e da mesma forma para y e z, com α o coeficiente de dilatação térmica linear e ΔT a variação de temperatura. As distorções não mudam, porque a dilatação livre de um material isotrópico é igual em todas as direções. Na contagem de Nemeth (NASA, 2011), o material isotrópico tem um único coeficiente de dilatação, contra 3 no ortotrópico e 6 no anisotrópico geral. A expressão supõe E, ν e α constantes na faixa de temperatura considerada.

Resumo das formas da lei de Hooke generalizada

A tabela reúne as formas desta seção, com as constantes que cada uma pede e a fonte de cada expressão. As contas com números estão nos exercícios 6 e 7.

Caso	Equação	Constantes	Fonte
Uniaxial	σ = E·ε; εlat = −ν·ε	E, ν	seção σ = E·ε deste artigo
3D, deformação a partir da tensão	εx = [σx − ν(σy + σz)]/E; γ = τ/G	E, ν, G	UFJF; UFF
3D, tensão a partir da deformação	σij = λ·εkk·δij + 2μ·εij	λ, μ	IAG-USP
Estado plano de tensão	σx = E/(1 − ν²)·(εx + ν·εy); εz = −ν(σx + σy)/E	E, ν	UFJF
Estado plano de deformação	σz = ν(σx + σy)	ν	UFJF
Volume	εV = (1 − 2ν)/E·(σx + σy + σz); K = E/[3(1 − 2ν)]	E, ν, K	UFF; UFJF
Confinado (edométrico)	M = E(1 − ν)/[(1 + ν)(1 − 2ν)] = λ + 2G	E, ν	dedução das equações 3D; IAG-USP
Com temperatura	+ α·ΔT em cada deformação normal	E, ν, α	Nemeth (NASA, 2011)
Número de constantes	21 anisotrópico; 9 ortotrópico; 5 transversalmente isotrópico; 2 isotrópico	conforme a simetria	Nemeth (NASA, 2011)

Até onde a Lei de Hooke vale

A Lei de Hooke é uma aproximação linear, e vale só para pequenas deformações. Nos metais, o trecho reto termina com deformação da ordem de décimos de porcento. Dois pontos do diagrama costumam ser confundidos:

• Limite de proporcionalidade: o fim do trecho reto. É até aqui que a Lei de Hooke vale.
• Limite elástico: a maior tensão que o material suporta sem ficar com deformação permanente. Pode ficar um pouco acima do limite de proporcionalidade: entre os dois, o material ainda volta ao tamanho original, mas a relação já não é proporcional.

O gráfico abaixo mostra a curva de um aço com o trecho da Lei de Hooke ampliado. Na escala da curva inteira, esse trecho é tão curto que parece uma linha vertical colada no zero: termina em cerca de 0,15% de deformação, enquanto o corpo de prova ainda vai se alongar mais de 15% antes de romper.

Ao descarregar depois do escoamento, o metal volta seguindo uma reta paralela ao trecho elástico, o que mostra que o comportamento elástico continua existindo mesmo depois da deformação plástica.

Alguns materiais não seguem a Lei de Hooke de forma útil:

• Borracha e elastômeros sofrem grandes deformações elásticas, mas a relação não é linear.
• Plásticos são viscoelásticos: a resposta depende do tempo e da velocidade de carregamento. Por isso a norma ISO 527-1 mede o módulo dos plásticos só entre 0,05% e 0,25% de deformação.
• Concreto e ferro fundido têm curva não linear desde o início, e se usa módulo inicial, secante ou de corda.
• Compósitos e madeira são anisotrópicos: o módulo depende da direção, e a lei precisa ser escrita na forma tensorial, com mais constantes elásticas.

Como a Lei de Hooke é medida no ensaio de tração

O ensaio de tração é o experimento da mola em versão de laboratório. A máquina universal de ensaios afasta as garras com velocidade controlada, e três instrumentos trabalham juntos:

• A célula de carga mede a força F.
• O extensômetro, preso no trecho útil do corpo de prova, mede o alongamento ΔL no comprimento de medida L₀.
• O software converte para tensão (σ = F/A₀) e deformação (ε = ΔL/L₀), traça a curva e ajusta a reta do trecho linear para obter o módulo de elasticidade.

O extensômetro é indispensável porque as deformações envolvidas são minúsculas. Os 0,15% em que termina o trecho linear do aço correspondem, num comprimento de medida de 50 mm, a menos de 0,08 mm. A faixa de 0,05% a 0,25% da ISO 527-1 para plásticos corresponde a 25 a 125 micrômetros em 50 mm. O deslocamento da travessa da máquina não serve para isso: além do alongamento do corpo de prova, ele inclui a acomodação das garras e a deformação da própria máquina, e o módulo calculado com ele sai bem abaixo do real. O Exercício 4 mostra o tamanho desse erro.

A tabela reúne as normas que regem a medição do módulo e a verificação dos instrumentos:

Norma	O que determina
ABNT NBR ISO 6892-1 / ISO 6892-1	Ensaio de tração de metais à temperatura ambiente; a versão ISO de 2019 traz um anexo normativo para determinar o módulo de elasticidade por regressão linear
ASTM E111	Determinação do módulo de Young, do módulo tangente e do módulo de corda
ISO 527-1	Propriedades de tração de plásticos, com módulo medido entre 0,05% e 0,25% de deformação
ASTM E83 e ISO 9513	Verificação e classificação de extensômetros
ABNT NBR ISO 7500-1	Verificação do sistema de medição de força das máquinas de ensaio

As máquinas universais de ensaios da Biopdi, fabricante brasileira sediada em São Carlos (SP), trabalham com extensômetros de 25 mm e 50 mm para pequenas deformações, como as dos metais, e de 150 mm e 250 mm para as grandes deformações dos polímeros. O software BioLab traça a curva tensão-deformação e calcula o módulo de Young no próprio ensaio. Para metais, chapas e juntas soldadas, a máquina de coluna dupla de 5 a 50 kN é o ponto de partida; para polímeros e elastômeros, a de coluna simples de 2 a 10 kN. Se o seu laboratório precisa medir módulo de elasticidade, solicite um orçamento.

Exercícios resolvidos da Lei de Hooke

Em todos os exercícios, use g = 9,8 m/s².

Exercício 1: deformação de uma mola

Uma mola de constante k = 250 N/m sustenta, em repouso, um corpo de 2,0 kg. Qual é a deformação da mola?

Resolução. No equilíbrio, a força elástica é igual ao peso: F = m·g = 2,0 × 9,8 = 19,6 N. Pela Lei de Hooke, x = F / k = 19,6 / 250 = 0,0784 m. Resposta: 7,84 cm.

Exercício 2: constante elástica a partir de um experimento

Massas de 50, 100, 150 e 200 g penduradas numa mola produziram alongamentos de 2,0, 4,0, 6,0 e 8,0 cm. Qual é a constante elástica, e quanta energia a mola armazena com 200 g?

Resolução. As forças são os pesos: 0,49, 0,98, 1,47 e 1,96 N. A razão F/x é a mesma em todos os pontos, então os pontos estão numa reta pela origem. Com o último ponto: k = 1,96 / 0,080 = 24,5 N/m. A energia é E_p = ½ × 24,5 × (0,080)² = 0,0784 J.

Exercício 3: associação de molas

Duas molas, com k₁ = 200 N/m e k₂ = 300 N/m, recebem uma força de 60 N. Qual é a deformação do conjunto em série e em paralelo?

Resolução. Em série: k_eq = (200 × 300) / (200 + 300) = 120 N/m, e x = 60 / 120 = 0,50 m. Em paralelo: k_eq = 200 + 300 = 500 N/m, e x = 60 / 500 = 0,12 m. O conjunto em paralelo é quatro vezes mais rígido que o em série.

Exercício 4: módulo de elasticidade num ensaio de tração

Um corpo de prova cilíndrico de aço com 10 mm de diâmetro é tracionado com um extensômetro de 50 mm de comprimento de medida. No trecho linear, a força passa de 4,0 kN para 12,0 kN, e o extensômetro registra alongamentos de 0,0127 mm e 0,0382 mm. Qual é o módulo de elasticidade?

Resolução. Área: A₀ = π × 5² = 78,54 mm². Variação de tensão: Δσ = 8.000 N / 78,54 mm² = 101,9 MPa. Variação de deformação: Δε = (0,0382 − 0,0127) / 50 = 0,000510. Módulo: E = Δσ / Δε = 101,9 / 0,000510 ≈ 199.700 MPa. Resposta: E ≈ 200 GPa, o valor esperado para um aço. A tensão máxima da faixa, 12.000 / 78,54 = 153 MPa, está abaixo do escoamento de um aço 1020 recozido (cerca de 180 MPa), o que confirma que o cálculo foi feito no regime da Lei de Hooke.

Se o mesmo cálculo usasse o deslocamento da travessa da máquina no lugar do extensômetro, por exemplo 0,10 mm nessa faixa, a deformação aparente seria 0,10 / 50 = 0,002 e o módulo sairia cerca de 51 GPa, quatro vezes menor que o real. É o erro descrito na seção sobre o ensaio de tração, e o motivo de o módulo se medir com extensômetro.

Exercício 5: alongamento de uma barra de alumínio

Uma barra de alumínio (E = 69 GPa) com 2,0 m de comprimento e 100 mm² de seção recebe uma força de tração de 3,0 kN. Quanto ela alonga?

Resolução. Tensão: σ = 3.000 / 100 = 30 MPa, abaixo do escoamento do alumínio recozido (cerca de 35 MPa), então vale a Lei de Hooke. Constante da barra: k = E·A / L = 69.000 N/mm² × 100 mm² / 2.000 mm = 3.450 N/mm. Alongamento: δ = F / k = 3.000 / 3.450 = 0,87 mm. A barra se comporta como uma mola muito rígida.

Exercício 6: Lei de Hooke generalizada num bloco de aço sob tensão biaxial

Um bloco de aço de 100 × 50 × 20 mm recebe σ_x = +120 MPa (tração) na direção dos 100 mm e σ_y = −60 MPa (compressão) na direção dos 50 mm, com σ_z = 0 na espessura de 20 mm. Com E = 200 GPa e ν = 0,3, os valores da NBR 8800, calcule a variação das três dimensões e do volume.

1. Regime: 120 MPa e 60 MPa ficam abaixo do escoamento mínimo do aço A36, 250 MPa, então vale a lei de Hooke.
2. ε_x = [120 − 0,3 × (−60 + 0)]/200.000 = 138/200.000 = 6,90 × 10⁻⁴, e Δa = 6,90 × 10⁻⁴ × 100 = +0,069 mm.
3. ε_y = [−60 − 0,3 × (120 + 0)]/200.000 = −96/200.000 = −4,80 × 10⁻⁴, e Δb = −4,80 × 10⁻⁴ × 50 = −0,024 mm.
4. ε_z = [0 − 0,3 × (120 − 60)]/200.000 = −18/200.000 = −9,0 × 10⁻⁵, e Δt = −9,0 × 10⁻⁵ × 20 = −0,0018 mm. A espessura muda sem tensão em z: é o estado plano de tensão.
5. Volume: ε_V = (6,90 − 4,80 − 0,90) × 10⁻⁴ = 1,20 × 10⁻⁴. Pela fórmula direta, (1 − 0,6)/200.000 × (120 − 60 + 0) = 0,4 × 60/200.000 = 1,20 × 10⁻⁴, o mesmo valor. Com V = 100.000 mm³, ΔV = +12 mm³.

Com σ = E·ε aplicada só em x, a deformação sairia 120/200.000 = 6,0 × 10⁻⁴, 13% abaixo do valor real de 6,9 × 10⁻⁴. A diferença é a compressão em y, que alonga o bloco em x pelo efeito de Poisson.

Exercício 7: polímero confinado numa matriz rígida

Um bloco de polímero rígido com 50 mm de altura, E = 2,0 GPa e ν = 0,40 é comprimido com σ_z = −10 MPa dentro de uma matriz rígida que impede a deformação lateral (ε_x = ε_y = 0). Os valores estão nas faixas do próprio site: polipropileno de 1,1 a 2 GPa neste artigo e polímeros rígidos de 0,33 a 0,40 no artigo sobre o coeficiente de Poisson. Calcule a tensão lateral e o encurtamento, e compare com o bloco livre.

1. De ε_x = 0: σ_x − ν(σ_y + σ_z) = 0. Por simetria, σ_x = σ_y, e então σ_x = ν/(1 − ν)·σ_z = 0,4/0,6 × (−10) = −6,67 MPa: a matriz aperta o bloco lateralmente.
2. ε_z = [σ_z − ν(σ_x + σ_y)]/E = [−10 − 0,4 × (−13,33)]/2.000 = −4,667/2.000 = −2,33 × 10⁻³, e Δh = −2,33 × 10⁻³ × 50 = −0,117 mm.
3. Bloco livre: ε_z = −10/2.000 = −5,0 × 10⁻³, e Δh = −0,25 mm.
4. Módulo confinado: M = 2.000 × 0,6/(1,4 × 0,2) = 1.200/0,28 = 4.286 MPa, ou 2,14·E. Conferência: 5,0/2,333 = 2,14.

O mesmo material parece duas vezes mais rígido quando confinado, como prevê a tabela de M/E. Num polímero real, o resultado vale como estimativa de carga rápida, porque a resposta dos plásticos depende do tempo, como explicado na seção sobre os limites da lei.

Referências

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• HOOKE, R. A Description of Helioscopes, and Some Other Instruments. Londres, 1676.
• YOUNG, T. A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts. Londres, 1807.
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• ISO 6892-1:2019. Metallic materials: Tensile testing, Part 1: Method of test at room temperature.
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• IAG-USP. AGG0305: 3. Constantes elásticas e Lei de Hooke. São Paulo: Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas da USP, 2014.
• NEMETH, M. P. An In-Depth Tutorial on Constitutive Equations for Elastic Anisotropic Materials. NASA/TM-2011-217314. Hampton: NASA Langley Research Center, 2011.