Módulo de elasticidade do concreto: fórmula da NBR 6118, tabela por classe e ensaio NBR 8522-1

O módulo de elasticidade do concreto mede a rigidez do material: quanto ele encurta sob uma tensão de compressão. Pela ABNT NBR 6118:2023, para concretos de C20 a C50, o módulo tangente inicial é E_ci = α_E · 5600 · √f_ck, em MPa, e o módulo secante usado no projeto é E_cs = α_i · E_ci. Um concreto C30 com brita de granito tem E_ci de cerca de 31 GPa e E_cs de cerca de 27 GPa.

Para as duas classes mais consultadas, com granito: o C25 tem E_ci = 28,0 GPa e E_cs = 24,2 GPa, e o C30 tem E_ci = 30,7 GPa e E_cs = 26,8 GPa. A revisão de 2023 da NBR 6118 manteve as fórmulas e os coeficientes da edição de 2014. O conceito geral de módulo, válido para qualquer material, está no artigo sobre o módulo de elasticidade (módulo de Young); aqui o assunto é o que é próprio do concreto. O módulo é medido num ensaio de compressão com extensômetros no corpo de prova, e o artigo segue a ordem de uma aula: o que é, por que existem dois módulos, as fórmulas, as tabelas, o que faz o valor variar, o ensaio, exercícios e o equipamento.

O que é o módulo de elasticidade do concreto

Em qualquer material, o módulo de elasticidade é a razão entre a tensão aplicada e a deformação específica que ela provoca, E = σ / ε, a lei de Hooke. No diagrama tensão-deformação, é a inclinação do trecho inicial: quanto mais íngreme, mais rígido o material e menos ele encurta sob a mesma carga. Uma viga de concreto com módulo alto tem flecha menor; um pilar com módulo alto encurta menos.

Na foto, um corpo de prova cilíndrico de concreto entre os pratos de compressão, o arranjo básico do ensaio de módulo pela NBR 8522-1, que acrescenta os medidores de deformação no próprio corpo de prova.

A diferença do concreto para o aço está na forma da curva. No aço, o trecho inicial é uma reta até perto do escoamento. No concreto, a curva começa a se curvar logo no início. A razão está na estrutura do material: o concreto é um compósito de três fases, a pasta de cimento endurecida, o agregado graúdo e a zona de transição entre os dois. A zona de transição é mais porosa e já tem microfissuras antes de qualquer carga, causadas pela retração e pela exsudação. Sob compressão, essas microfissuras crescem, e a deformação passa a aumentar mais depressa que a tensão.

Até cerca de 30 % a 40 % da resistência à compressão (f_c), a curva é quase reta e o comportamento é praticamente reversível: descarregado, o corpo de prova volta ao comprimento inicial, o que caracteriza a deformação elástica. Acima dessa faixa, a microfissuração se propaga, a curva se inclina cada vez mais e parte da deformação passa a ser permanente. O pico, que é o próprio f_c, fica perto de 2 ‰ de encurtamento nos concretos usuais, e a NBR 6118 adota 3,5 ‰ como deformação última para as classes de C20 a C50.

Como a curva não tem um trecho perfeitamente reto, "a inclinação" depende de onde ela é medida. Por isso o concreto tem mais de um módulo, cada um definido por dois pontos da curva, e a norma precisa dizer qual deles se usa em cada situação.

Eci e Ecs: módulo tangente inicial e módulo secante

A NBR 6118 e a NBR 8522-1 trabalham com dois módulos. O módulo tangente inicial, E_ci, é a inclinação da tangente à curva na origem: representa a rigidez do concreto sob tensões baixas. O módulo secante, E_cs, é a inclinação de uma reta que liga a origem, ou um ponto de tensão baixa, a um ponto de tensão mais alta da curva. Como a curva se inclina à medida que a tensão sobe, a secante fica abaixo da tangente, e E_cs é sempre menor ou igual a E_ci.

Na prática de laboratório, a tangente exata na origem não é medida. A NBR 8522-1:2021 obtém o E_ci como a inclinação da reta entre dois pontos próximos do início, 0,5 MPa e 30 % de f_c, uma reta que liga dois pontos da curva chamada de cordal. A tangente exata na origem não se mede com precisão, e a norma adota essa cordal como o E_ci; ela fica um pouco abaixo da tangente teórica, tanto menos quanto mais linear for o concreto. A norma americana ASTM C469/C469M usa outra cordal, até 40 % da carga de ruptura. O gráfico abaixo traça as três retas sobre a curva de um concreto com f_c = 30 MPa e mostra que, quanto mais alto o segundo ponto, menor o módulo: 31,4 GPa na tangente, 28,0 GPa na cordal da NBR 8522-1 e 27,0 GPa na secante até 0,4 f_c.

Módulo de elasticidade ou módulo de deformação

O título da NBR 8522-1 fala em "módulos de elasticidade e de deformação", e os dois nomes têm sentidos distintos. Módulo de elasticidade é o E_ci, o tangente inicial. Módulo de deformação secante é o E_cs, calculado até uma tensão especificada. Em relatórios e projetos, "módulo de deformação" quase sempre quer dizer o secante.

Qual módulo usar no projeto de concreto armado

A NBR 6118 (item 8.2.8) indica o E_cs para as análises elásticas de projeto: cálculo dos esforços solicitantes e verificação dos estados-limite de serviço, como flechas. Ele é tomado como módulo único, à tração e à compressão, para avaliar um elemento ou uma seção. O E_ci entra nas análises que dependem da rigidez sob tensão baixa e duradoura, como o comportamento global da estrutura, a fluência e as perdas de protensão. Usar E_ci no lugar de E_cs num cálculo de flecha subestima a deformação, porque o módulo usado é maior que o recomendado.

O mesmo item da norma completa a descrição elástica do concreto com dois valores: coeficiente de Poisson ν = 0,2 e módulo de elasticidade transversal G_c = E_cs / 2,4, válidos para tensões de compressão abaixo de 0,5 f_c e de tração abaixo da resistência à tração. O coeficiente de Poisson tem artigo próprio.

Fórmula do módulo de elasticidade do concreto pela NBR 6118:2023

A NBR 6118 manda obter o E_ci pelo ensaio da NBR 8522-1, aos 28 dias. Quando não há ensaio, o que é comum na fase de projeto, a norma permite estimá-lo a partir da resistência característica à compressão, f_ck, que é a resistência com 95 % de probabilidade de ser superada e define a classe do concreto (C30 tem f_ck = 30 MPa). A estimativa usa duas expressões, uma para cada grupo de resistência, e dois coeficientes.

As duas expressões do Eci

Para os concretos do grupo I, de C20 a C50, o módulo cresce com a raiz quadrada da resistência:

• C20 a C50: E_ci = α_E · 5600 · √f_ck, com E_ci e f_ck em MPa.
• C55 a C90: E_ci = 21,5 · 10³ · α_E · (f_ck/10 + 1,25)^1/3, também em MPa.

No grupo II, de C55 a C90, a norma troca a raiz quadrada por uma raiz cúbica. Nos concretos de alta resistência, a pasta é mais densa e a zona de transição é menos porosa, e o módulo passa a crescer mais devagar que a resistência. Cada expressão vale só na sua faixa: aplicar a raiz quadrada a um C70 superestima o módulo.

O coeficiente do agregado, αE

O agregado graúdo ocupa a maior parte do volume do concreto e é muito mais rígido que a pasta, então o tipo de rocha pesa no módulo tanto quanto a resistência. A norma leva isso em conta com o coeficiente α_E, que multiplica o E_ci:

• Basalto e diabásio: α_E = 1,2.
• Granito e gnaisse: α_E = 1,0.
• Calcário: α_E = 0,9.
• Arenito: α_E = 0,7.

Entre o arenito e o basalto, o módulo do mesmo C30 varia 71 %. Um projeto calculado com granito e executado com brita de arenito terá um concreto 30 % menos rígido que o previsto.

O coeficiente αi e o módulo secante

O módulo secante sai do tangente inicial por um coeficiente que cresce com a classe:

• Módulo secante: E_cs = α_i · E_ci.
• Coeficiente: α_i = 0,8 + 0,2 · f_ck/80 ≤ 1,0.

No C20, α_i = 0,85; no C50, 0,925; a partir do C80, chega a 1,0. O coeficiente traduz o que o gráfico anterior mostrou: concretos de baixa resistência têm curva mais inclinada desde cedo, e a secante fica bem abaixo da tangente. Os concretos de alta resistência são quase lineares até perto da ruptura, e as duas retas coincidem.

O módulo antes dos 28 dias

O módulo cresce com a hidratação do cimento, mas mais devagar que a resistência. Entre 7 e 28 dias, a NBR 6118 estima o módulo na idade t a partir da resistência nessa idade, f_c(t), e da resistência aos 28 dias, f_c:

• C20 a C45: E_ci(t) = [f_c(t) / f_c]^0,5 · E_ci.
• C50 a C90: E_ci(t) = [f_c(t) / f_c]^0,3 · E_ci.

Essa estimativa interessa, por exemplo, na retirada de escoramentos e na protensão aplicada antes dos 28 dias.

O que mudou na NBR 6118:2023 e a regra antiga que ainda circula

Para o módulo, nada mudou: a edição de 2023 manteve as expressões e os coeficientes de 2014. A principal mudança do item 8.2 foi o coeficiente de fragilidade η_c, no item 8.2.10.1, aplicado aos concretos acima de 40 MPa, que não altera o módulo. O que ainda aparece em apostilas e sites é a regra das edições de 2003 e 2007: E_ci = 5600 · √f_ck sem α_E e E_cs = 0,85 · E_ci = 4760 · √f_ck. Ela foi revogada em 2014. A mistura das duas, "E_ci = 0,85 · 5600 · √f_ck", está errada por qualquer edição.

A tabela resume as expressões vigentes:

Grandeza	Expressão (NBR 6118:2023)	Validade
Eci, grupo I	αE · 5600 · √fck (MPa)	C20 a C50
Eci, grupo II	21,5 · 103 · αE · (fck/10 + 1,25)1/3 (MPa)	C55 a C90
Ecs	αi · Eci	todas as classes
αi	0,8 + 0,2 · fck/80 ≤ 1,0	todas as classes
Eci(t)	[fc(t)/fc]0,5 ou 0,3 · Eci	7 a 28 dias

As expressões valem para concreto de massa específica normal, de 2.000 a 2.800 kg/m³. Concreto leve e concreto de ultra-alto desempenho têm comportamento e métodos próprios.

Tabela do módulo de elasticidade do concreto por classe

A tabela 8.1 da NBR 6118 traz os valores estimados de E_ci, E_cs e α_i por classe, considerando granito como agregado graúdo. Os valores abaixo foram calculados pelas expressões do item 8.2.8, com uma casa decimal; a norma arredonda para GPa inteiro (C30: 31 e 27 GPa).

Classe	Eci (GPa)	αi	Ecs (GPa)
C20	25,0	0,850	21,3
C25	28,0	0,863	24,2
C30	30,7	0,875	26,8
C35	33,1	0,888	29,4
C40	35,4	0,900	31,9
C45	37,6	0,913	34,3
C50	39,6	0,925	36,6
C60	41,6	0,950	39,5
C70	43,4	0,975	42,4
C80	45,1	1,000	45,1
C90	46,7	1,000	46,7

O gráfico abaixo mostra os mesmos valores em barras. Dois efeitos ficam visíveis: a distância entre E_ci e E_cs diminui com a classe até sumir no C80, e o ganho de módulo fica menor depois da troca de fórmula, no grupo II. Do C30 ao C70 a resistência sobe 133 %, e o E_ci, só 42 %.

Módulo de elasticidade do concreto de 25 MPa e de 30 MPa

Estas são as duas perguntas mais frequentes, e a resposta depende do agregado. Com granito, o concreto de f_ck 25 MPa tem E_ci = 5600 × 5 = 28,0 GPa e E_cs = 0,8625 × 28,0 = 24,2 GPa. O de 30 MPa tem E_ci = 5600 × √30 = 30,7 GPa e E_cs = 0,875 × 30,7 = 26,8 GPa. A tabela seguinte aplica o α_E de cada rocha às duas classes:

Agregado (αE)	C25: Eci / Ecs (GPa)	C30: Eci / Ecs (GPa)
Basalto, diabásio (1,2)	33,6 / 29,0	36,8 / 32,2
Granito, gnaisse (1,0)	28,0 / 24,2	30,7 / 26,8
Calcário (0,9)	25,2 / 21,7	27,6 / 24,2
Arenito (0,7)	19,6 / 16,9	21,5 / 18,8

O C30 em outras normas de projeto

Cada código de projeto tem sua expressão, e comparar o mesmo concreto mostra a dispersão entre eles. Os valores abaixo foram calculados para f_ck = 30 MPa com agregado de referência. O Eurocode 2 e o fib Model Code partem da resistência média, f_cm = f_ck + 8 MPa, por isso dão valores maiores.

Norma	Expressão	C30
NBR 6118:2023 (granito)	Eci = 5600 · √fck	30,7 GPa (Ecs 26,8)
NBR 6118:2007 (revogada)	Ecs = 4760 · √fck	26,1 GPa
ACI 318	Ec = 4700 · √f′c	25,7 GPa
Eurocode 2	Ecm = 22 · (fcm/10)0,3 GPa	32,8 GPa
fib Model Code 2010	Eci = 21,5 · 103 · (fcm/10)1/3	33,5 GPa

Para comparação com outro material de construção: o aço de armadura tem módulo de 210 GPa pela NBR 6118, de 5 a 8 vezes o de um concreto usual. Os detalhes estão no artigo sobre o módulo de elasticidade do aço.

O que faz o módulo do concreto variar

As fórmulas da norma dependem só de f_ck e do tipo de rocha, mas o módulo real de um concreto depende da dosagem, da cura e até da forma como o corpo de prova é ensaiado. Conhecer esses fatores explica por que dois concretos da mesma classe podem ter módulos bem diferentes:

• Tipo e teor de agregado graúdo: é o fator principal, e não só pela rocha. Numa reunião de resultados nacionais, a massa específica do concreto foi a variável que mais influenciou o E_ci aos 28 dias (Leal et al., 2020). Mais agregado e menos pasta dão concreto mais rígido.
• Relação água/cimento: mais água deixa a pasta mais porosa, e poros não resistem à compressão. A relação a/c alta reduz o módulo, e a baixa o aumenta.
• Idade: a hidratação do cimento continua depois dos 28 dias e densifica a pasta; o módulo cresce, mas mais devagar que a resistência.
• Cura: cura úmida insuficiente interrompe a hidratação na superfície e deixa a pasta mais porosa e microfissurada, com módulo menor. Temperatura e umidade controladas na cura dão um módulo mais estável.
• Umidade no ensaio: um corpo de prova saturado dá módulo cerca de 15 % maior que um seco, porque a água nos poros ajuda a suportar a compressão.
• Velocidade de carregamento: carga muito lenta deixa a fluência agir durante o ensaio e reduz o módulo; carga muito rápida o superestima. Por isso a NBR 8522-1 fixa a velocidade.
• Temperatura: em temperatura elevada, como num incêndio, a microfissuração e a perda de água da pasta reduzem o módulo, e a estrutura deforma mais sob a mesma carga.
• Jazida: o mesmo "granito" varia de uma pedreira para outra, o que as fórmulas não enxergam.

Como é o ensaio do módulo de elasticidade do concreto (NBR 8522-1:2021)

O ensaio estático do módulo segue a ABNT NBR 8522-1:2021, "Concreto endurecido: Determinação dos módulos de elasticidade e de deformação. Parte 1: Módulos estáticos à compressão". Os corpos de prova são cilíndricos, com altura igual ao dobro do diâmetro, em geral 100 × 200 mm ou 150 × 300 mm, moldados e curados pela NBR 5738. A norma pede pelo menos cinco corpos de prova do mesmo concreto: dois são rompidos antes, pela NBR 5739, para dar a resistência f_c que define os níveis de carga, e três são usados para o módulo.

O corpo de prova é centrado entre os pratos de uma prensa ou máquina universal, e a deformação é medida por extensômetros fixados no próprio concreto, em duas bases diametralmente opostas; o resultado é a média das duas. A medição precisa ser no corpo de prova, e não pelo deslocamento da máquina, por uma questão de escala: no trecho em que o módulo é medido, um corpo de prova de 200 mm encurta menos de 0,1 mm, e o deslocamento do travessão soma a acomodação dos pratos, o capeamento e a deformação da própria máquina. O exercício 5 mostra o tamanho do erro.

Metodologias A e B

A norma define duas formas de fixar o ponto inicial da cordal. As duas usam como ponto final a tensão σ_b = 0,3 · f_c:

• Metodologia A, tensão fixa: o ponto inicial é a tensão σ_a = 0,5 MPa, e a deformação ε_a é lida nessa tensão.
• Metodologia B, deformação fixa: o ponto inicial é a deformação ε_a = 50 · 10^-6, e a tensão σ_a é lida nessa deformação.

Carregamento e leituras, passo a passo

O carregamento é feito em ciclos, com velocidade de 0,45 ± 0,15 MPa/s, e cada nível de tensão é mantido por 60 s antes da leitura. Os ciclos iniciais acomodam o corpo de prova nos pratos e estabilizam os extensômetros. A sequência é esta:

1. Centrar o corpo de prova e fixar os extensômetros nas duas bases opostas.
2. Fazer os ciclos de carga e descarga entre o nível inicial (σ_a) e σ_b = 0,3 · f_c, mantendo cada patamar por 60 s.
3. Ler as deformações ε_a e ε_b no último ciclo, nos 30 s que seguem cada patamar.
4. Retirar os extensômetros e romper o corpo de prova, obtendo a resistência efetiva f_c,ef.
5. Conferir a resistência: se f_c,ef diferir em mais de 20 % do f_c usado para definir σ_b, o resultado daquele corpo de prova é descartado.

Cálculo do Eci e do Ecs no ensaio

Com tensões em MPa e deformações adimensionais, o fator 10^-3 converte o resultado para GPa:

• Metodologia A: E_ci = (σ_b − 0,5) / (ε_b − ε_a) · 10^-3.
• Metodologia B: E_ci = (σ_b − σ_a) / (ε_b − 50 · 10^-6) · 10^-3.
• Módulo de deformação secante: E_cs = (σ_n − σ_a) / (ε_n − ε_a) · 10^-3, com σ_n a tensão especificada.

A tensão σ_n do módulo secante é escolhida por quem especifica o ensaio, em geral o projetista, conforme a tensão de serviço que interessa. No ensaio entra o f_c real dos corpos de prova rompidos, e não o f_ck do projeto: o f_ck só aparece nas fórmulas de estimativa.

O ensaio pela ASTM C469/C469M

A norma americana mede o módulo cordal e o coeficiente de Poisson no mesmo ensaio. A cordal vai da tensão correspondente à deformação de 50 · 10^-6 até 40 % da carga de ruptura, faixa um pouco mais alta que a da NBR 8522-1, e a deformação é a média de duas linhas de medição opostas. Por causa do ponto final mais alto, o módulo da ASTM tende a ficar um pouco abaixo do E_ci da norma brasileira para o mesmo concreto, como mostrou o primeiro gráfico.

Módulo estático e módulo dinâmico

O módulo também pode ser obtido sem carregar o corpo de prova até 30 % da ruptura, por métodos dinâmicos que medem vibração ou propagação de onda. A ABNT NBR 8522-2:2021 determina o módulo de elasticidade dinâmico, E_cd, pelas frequências naturais de vibração: o corpo de prova recebe um impacto leve e a frequência de ressonância dá o módulo. Outras referências são a ASTM C215, por frequência de ressonância, a ASTM E1876, por excitação por impulso, e o ultrassom da NBR 8802.

Os dois módulos não são iguais. No método dinâmico a tensão é mínima, as microfissuras quase não se abrem e o material responde praticamente sem fluência, então o E_cd sai maior: cerca de 20 % acima do estático em concretos de alta resistência, 30 % nos de resistência média e 40 % nos de baixa. Num estudo com concretos de basalto do Paraná, o dinâmico ficou 16 % acima do estático por excitação por impulso e 28 % por ultrassom. A NBR 8522-1 traz, no Anexo B, uma correlação empírica, o modelo de Popovics, para estimar o E_ci a partir do E_cd e da massa específica. O método dinâmico é rápido, não destrói o corpo de prova e serve para acompanhar a evolução do módulo; o valor que entra na NBR 6118 é o estático, e usar o dinâmico sem conversão superestima a rigidez.

Por que o módulo importa: estimado ou medido

O módulo não decide se a estrutura resiste, mas decide quanto ela deforma. Flecha de vigas e lajes, fissuras em alvenarias apoiadas sobre elas, deformação lenta por fluência e estabilidade global de edifícios altos dependem do E_cs. Uma laje com módulo 15 % menor que o previsto tem flecha imediata 15 % maior, e a fluência amplia essa diferença ao longo dos anos.

O problema é que a fórmula da norma é uma estimativa. Construtoras e laboratórios relatam que os valores ensaiados costumam ficar abaixo dos estimados, e há quem recomende reduzir a estimativa em 10 % a 15 % (IBRACON, 2023). Os dados publicados mostram a dimensão da dispersão:

• Borin et al. (2010): em concretos de obra com resistência perto de 30 MPa, o módulo variou de 16,5 a 47,7 GPa, com 20 % de probabilidade de ficar abaixo da estimativa da norma da época.
• Leal et al. (2020): na reunião de resultados nacionais, o α_E ajustado foi de 1,00 a 1,03 para granito e gnaisse, o que confirma a norma; de 1,08 para calcário, acima do 0,9 da norma; e de 1,07 a 1,14 para basalto, abaixo do 1,2.
• Santos et al. (2017): com 324 corpos de prova de basalto e dolomito do Triângulo Mineiro, as expressões da NBR 6118:2014 e do fib Model Code foram as mais próximas dos resultados.
• Litoral Norte de São Paulo: um laboratório local relata concretos de 30 MPa com gnaisse e E_ci de até 26 GPa, cerca de 17 % abaixo da estimativa (Sotef, 2025).

A conclusão prática é a da própria NBR 6118: o módulo deve vir do ensaio da NBR 8522-1. Em obras em que flecha e fissuração são críticas, o projetista especifica o módulo mínimo, e o controle tecnológico o confere em laboratório, com os agregados da obra.

Exercícios resolvidos

Os seis exercícios seguem a ordem do artigo: estimativa pela norma, efeito do agregado, alta resistência, cálculo a partir das leituras do ensaio, o erro de medir pelo travessão e o efeito do módulo na flecha.

Exercício 1: Eci e Ecs de um C30 com granito

Dados: f_ck = 30 MPa, brita de granito, α_E = 1,0.

1. E_ci = 1,0 × 5600 × √30 = 5600 × 5,477 = 30.672 MPa ≈ 30,7 GPa.
2. α_i = 0,8 + 0,2 × 30/80 = 0,875, abaixo de 1,0.
3. E_cs = 0,875 × 30.672 = 26.838 MPa ≈ 26,8 GPa.

Exercício 2: o mesmo C30 com basalto, e o C25 com granito

Com basalto, α_E = 1,2. Para o C25 com granito, √25 = 5.

1. C30 basalto: E_ci = 1,2 × 30.672 = 36.806 MPa; E_cs = 0,875 × 36.806 = 32.205 MPa, 20 % acima do granito com o mesmo f_ck.
2. C25 granito: E_ci = 5600 × 5 = 28.000 MPa; α_i = 0,8625; E_cs = 24.150 MPa.

Exercício 3: concreto de alta resistência C70 com granito

O C70 pertence ao grupo II, então a expressão é a da raiz cúbica.

1. E_ci = 21.500 × 1,0 × (70/10 + 1,25)^1/3 = 21.500 × 8,25^1/3 = 21.500 × 2,0206 = 43.443 MPa.
2. α_i = 0,8 + 0,2 × 70/80 = 0,975.
3. E_cs = 0,975 × 43.443 = 42.357 MPa.

Com a raiz quadrada, fora da faixa, o resultado seria 5600 × √70 = 46.853 MPa, 8 % acima do correto.

Exercício 4: Eci a partir das leituras do ensaio (metodologia A)

Dados didáticos: corpo de prova de 100 × 200 mm; f_c dos corpos de prova rompidos antes = 32,0 MPa; dois extensômetros opostos com base de 100 mm. Leitura média no patamar de 0,5 MPa: ε_a = 20 · 10^-6. No patamar de σ_b: ε_b = 325 · 10^-6.

1. Área: A = π × 50² = 7.854 mm².
2. σ_b = 0,30 × 32,0 = 9,6 MPa. Forças nos patamares: 0,5 × 7.854 = 3,93 kN e 9,6 × 7.854 = 75,4 kN.
3. E_ci = (9,6 − 0,5) / (305 · 10^-6) · 10^-3 = 29,8 GPa.
4. Encurtamento medido na base de 100 mm: 305 · 10^-6 × 100 = 0,0305 mm, ou 30,5 µm.

Depois das leituras, o corpo de prova é rompido; se o f_c,ef ficar fora de 32,0 ± 20 %, o resultado é descartado.

Exercício 5: o erro de medir pelo travessão

No mesmo ensaio, o deslocamento do travessão entre as mesmas duas forças foi de 0,122 mm. O concreto, nos 200 mm de altura, encurtou 305 · 10^-6 × 200 = 0,061 mm; os outros 0,061 mm vêm da acomodação dos pratos, do capeamento e da deformação da máquina.

1. Deformação aparente: 0,122 / 200 = 610 · 10^-6.
2. Módulo aparente: 9,1 / (610 · 10^-6) · 10^-3 = 14,9 GPa, metade do valor real.

O módulo só se mede com extensômetro no corpo de prova, e o mesmo vale para os metais no ensaio de tração.

Exercício 6: efeito do módulo na flecha

Viga biapoiada de 5 m, carga distribuída de 10 kN/m, seção de 15 × 40 cm, concreto C25 com granito. Momento de inércia da seção bruta: I = 0,15 × 0,40³ / 12 = 8,0 · 10^-4 m⁴. Flecha elástica imediata: δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I).

1. Com E_cs = 24,15 GPa: δ = 5 × 10.000 × 625 / (384 × 24,15 · 10⁹ × 8,0 · 10^-4) = 4,2 mm.
2. Com E_ci = 28 GPa, por engano: δ = 3,6 mm, 14 % abaixo.
3. Com basalto (E_cs = 29,0 GPa): 3,5 mm. Com arenito (16,9 GPa): 6,0 mm.

A NBR 6118 calcula a flecha com a inércia equivalente da seção fissurada e soma a fluência; o exercício isola apenas o efeito do módulo. A relação entre rigidez e flecha é tratada também no ensaio de flexão.

Erros comuns com o módulo do concreto

Os erros abaixo aparecem com frequência em memórias de cálculo, relatórios e textos técnicos, e cada um já foi tratado numa seção deste artigo:

• Usar E_ci onde a norma pede E_cs: nas flechas e nos esforços, subestima a deformação de 7 % a 15 % nas classes de C20 a C50.
• Esquecer o α_E: projetar com granito e executar com arenito dá módulo 30 % menor.
• Usar a regra revogada: E_cs = 0,85 · E_ci, ou a mistura "0,85 · 5600 · √f_ck", não vale desde 2014.
• Trocar a faixa da fórmula: a raiz quadrada vale até C50, e a cúbica, de C55 a C90.
• Usar f_ck no ensaio: σ_b = 0,3 · f_c, com o f_c medido nos corpos de prova rompidos antes.
• Medir a deformação pelo travessão: o módulo sai muito menor que o real.
• Comparar dinâmico com estático sem conversão: o dinâmico é de 20 % a 40 % maior.
• Ler o módulo como constante: umidade, jazida e procedimento mudam o resultado, e a variação entre laboratórios chega a 10 % a 15 %.

Normas do módulo de elasticidade do concreto

As normas brasileiras cobrem o projeto (NBR 6118), o ensaio estático e o dinâmico (NBR 8522-1 e -2) e a preparação dos corpos de prova. A tabela reúne as citadas neste artigo:

Norma	O que trata	Edição
ABNT NBR 6118	projeto de estruturas de concreto: Eci, Ecs, αE, αi, tabela 8.1	2023
ABNT NBR 8522-1	módulos estáticos de elasticidade e de deformação à compressão	2021
ABNT NBR 8522-2	módulo dinâmico pelas frequências naturais de vibração	2021
ABNT NBR 5739	ensaio de compressão de corpos de prova cilíndricos	2018
ABNT NBR 5738	moldagem e cura de corpos de prova	2015
ABNT NBR 8953	classificação do concreto por grupos de resistência (C20 a C90)	não indicada
ABNT NBR 8802	velocidade de propagação de onda ultrassônica	não indicada
ASTM C469/C469M	módulo estático e coeficiente de Poisson do concreto à compressão	C469/C469M-22
ASTM C215	frequências de ressonância de corpos de prova de concreto	não indicada
ASTM E1876	módulo dinâmico por excitação por impulso	não indicada
ASTM E111	definições de módulo de Young, tangente e cordal	E111-17(2025)e1
ACI 318, Eurocode 2, fib Model Code 2010	códigos de projeto com expressões próprias do módulo	não indicada

Duas correções em relação a listas que circulam, inclusive na versão anterior deste artigo: a NBR 8953 classifica o concreto por resistência e não trata de ultrassom, que é assunto da NBR 8802; e a ISO 6784, citada como norma internacional do módulo estático, foi substituída pela ISO 1920-10.

Máquina para o ensaio do módulo de elasticidade do concreto

O ensaio da NBR 8522-1 pede três coisas do equipamento: aplicar a compressão com velocidade controlada e manter os patamares, medir a força com célula de carga calibrada e ler a deformação com extensômetros fixados no corpo de prova. A máquina também precisa romper o corpo de prova no fim do ensaio: um cilindro de 100 × 200 mm de C30 rompe perto de 236 kN, e um de 150 × 300 mm, perto de 530 kN. A máquina universal Biopdi da linha M2 tem modelos autoportantes de 300 kN, 600 kN e 1.000 kN, células de carga classe 1 pela ABNT NBR ISO 7500-1:2023 e o software BioLab. O painel abaixo mostra a máquina, a função de cada parte no ensaio do módulo e os pratos de compressão.

Para corpos de prova de 100 × 200 mm até C25, a indicada é a máquina universal de 300 kN (MBIOII-300-M2), cuja página cita concreto e a NBR 5739:2018; de C30 a C50 no mesmo corpo de prova, a de 600 kN (MBIOII-600-M2); e para cilindros de 150 × 300 mm de classes altas, a de 1.000 kN (MBIOII-1000-M2). O software BioLab permite montar o ensaio por script e criar cálculos personalizados, como a cordal (σ_b − 0,5) / (ε_b − ε_a). Os extensômetros adequados a corpos de prova de concreto e a configuração da rotina da NBR 8522-1 são definidos no orçamento. Para escolher entre os modelos, veja o guia da máquina universal de ensaio.