Resistência dos materiais: conceitos, fórmulas e exemplos

Resistência dos materiais é a disciplina da engenharia que calcula as tensões e as deformações que as cargas provocam em peças deformáveis, para que elas não rompam, não escoem e não se deformem demais. A estática trata o corpo como rígido; a resistência dos materiais aceita que ele deforma e usa propriedades medidas em ensaio. A conta central é sempre a mesma: achar o esforço interno, transformá-lo em tensão (σ = N / A na tração simples) e comparar com a tensão admissível do material.

O raciocínio da disciplina cabe em quatro passos:

1. Esforços: o equilíbrio da peça dá, em cada seção, a força normal N, a força cortante V, o momento fletor M e o momento torçor T.
2. Tensões: cada esforço vira uma tensão normal σ ou de cisalhamento τ, por uma fórmula que depende da geometria da seção.
3. Verificação: a tensão de serviço é comparada com a admissível, σ_adm = σ_e / n, e o deslocamento, com o limite do projeto.
4. Dados do material: o módulo de elasticidade E, o limite de escoamento σ_e e o limite de resistência σ_r vêm de ensaio, em geral o de tração.

Este guia explica os conceitos nessa ordem, reúne uma tabela de fórmulas com unidades e limite de validade, resolve cinco exercícios numéricos e indica os livros do curso. Na foto, uma barra de aço em flexão de três pontos na máquina universal de ensaios: dois roletes apoiam as pontas, o cutelo carrega o meio do vão e a barra se curva sem romper, o mesmo problema que a teoria de vigas descreve no papel.

O que é resistência dos materiais

Resistência dos materiais é o ramo da mecânica aplicada que relaciona as cargas externas que agem sobre um corpo deformável com as forças internas, as tensões e as deformações que elas produzem. A apostila de Resistência dos Materiais I da UFJF (2012), um dos materiais abertos mais usados no Brasil, define a disciplina como uma "ciência desenvolvida a partir de ensaios experimentais e de análises teóricas": as fórmulas vêm da teoria, e os números que entram nelas vêm do laboratório.

Estática e resistência dos materiais

A diferença entre as duas disciplinas está na hipótese sobre o corpo. A estática supõe o corpo perfeitamente rígido e responde a uma pergunta: quais forças e reações mantêm a peça em equilíbrio. A resistência dos materiais parte dessas forças e responde a outras duas: quanto cada ponto da peça é solicitado (a tensão) e quanto a peça muda de forma (a deformação e o deslocamento). Uma viga de aço e uma de madeira, com o mesmo vão e a mesma carga, têm as mesmas reações de apoio na estática; na resistência dos materiais, elas têm flechas diferentes, porque o módulo de elasticidade de cada material é diferente.

Disciplina e propriedade: resistência dos materiais × resistência mecânica

"Resistência dos materiais" é o nome da disciplina; "resistência mecânica" é uma propriedade do material, a tensão máxima que ele suporta antes de escoar ou de romper. A confusão é comum, e a própria Wikipédia em português abre o verbete da disciplina definindo a propriedade. A propriedade, com o escoamento, o limite de resistência e como cada um é medido, está no artigo sobre resistência mecânica; a lista completa das propriedades, com unidade, ensaio e norma de cada uma, está em propriedades mecânicas dos materiais. Aqui o assunto é a disciplina, que usa essas propriedades como dado de entrada.

Mecânica dos materiais é o mesmo que resistência dos materiais

"Mecânica dos materiais" é outro nome para a mesma disciplina. Ele traduz o título em inglês Mechanics of Materials, usado nos livros de Beer e Johnston e de Gere e Goodno, enquanto "Resistência dos materiais" é o nome tradicional em português e o título brasileiro do livro de Hibbeler. Em Portugal aparece também "Resistência de materiais". Em ementas de pós-graduação, a continuação da disciplina costuma se chamar mecânica dos sólidos ou teoria da elasticidade.

As hipóteses do curso

As fórmulas do curso básico valem dentro de um conjunto de hipóteses simplificadoras, e boa parte dos erros de aplicação vem de esquecê-las:

• Material homogêneo e isotrópico: as propriedades são iguais em todos os pontos e em todas as direções, o que vale bem para o aço e mal para a madeira e os compósitos;
• Regime linear elástico: a tensão é proporcional à deformação (lei de Hooke) e a peça volta à forma original quando a carga sai;
• Pequenas deformações: a geometria muda tão pouco que o equilíbrio pode ser escrito na forma indeformada;
• Princípio de Saint-Venant: longe do ponto de aplicação da carga, de furos e de mudanças de seção, a distribuição de tensão depende só do esforço resultante, e não da forma exata como a carga foi aplicada.

Breve histórico

Galileu Galilei tratou a resistência das vigas em Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (Leiden, 1638), e uma das duas "novas ciências" do título é justamente a resistência dos materiais, estudada com a viga em balanço. Robert Hooke publicou a proporcionalidade entre força e alongamento em 1678 ("ut tensio, sic vis"), e Leonhard Euler deduziu a carga crítica de flambagem de colunas em 1744, num apêndice do Methodus inveniendi lineas curvas. A história completa da disciplina, até o século XX, está em History of Strength of Materials, de Stephen Timoshenko (McGraw-Hill, 1953).

Para que serve e onde entra no curso de engenharia

A resistência dos materiais serve para dimensionar e verificar peças: escolher a seção de uma viga, o diâmetro de um eixo, a quantidade de parafusos de uma ligação ou a espessura de uma chapa para que a peça suporte a carga com segurança e sem deformar além do aceitável. É a disciplina que transforma o equilíbrio da estática em decisão de projeto.

Aplicações por engenharia

Toda engenharia que projeta objetos físicos usa a disciplina, cada uma com o seu foco:

• Engenharia civil: vigas, pilares, lajes, treliças e ligações; é a base para as normas de estruturas de aço (ABNT NBR 8800) e de concreto (ABNT NBR 6118);
• Engenharia mecânica: eixos de transmissão, molas, parafusos, vasos de pressão e elementos de máquinas;
• Engenharia de materiais: a ligação entre a microestrutura e as propriedades que entram nas fórmulas, e o ensaio que as mede;
• Engenharia de produção: escolha de material e de processo, dispositivos de fixação e controle de qualidade de componentes.

Pré-requisitos e disciplinas seguintes

Em geral, a resistência dos materiais vem depois de Estática (ou Mecânica Geral) e de Cálculo, no ciclo básico das engenharias, e muitas faculdades a dividem em Resistência dos Materiais I e II. A divisão e o semestre variam por instituição. A apostila da UFJF dá um retrato típico do primeiro curso: tensões e deformações, tração e compressão, cisalhamento, torção, flexão, cisalhamento em vigas, deformação de vigas e problemas hiperestáticos. Depois vêm Teoria das Estruturas, Estruturas de Concreto e de Aço, Elementos de Máquinas e, na pós-graduação, Mecânica dos Sólidos.

A resistência dos materiais é difícil?

É uma das disciplinas mais exigentes do ciclo básico, porque junta três coisas que o estudante viu separadas: o equilíbrio da estática, o cálculo integral e a geometria das seções (centroide e momento de inércia). A literatura de ensino de engenharia registra um ponto de dificuldade específico: o estudo de Creuziger e Crone, da Universidade de Wisconsin-Madison, apresentado na conferência anual da ASEE em 2006, parte da constatação de que a tensão de cisalhamento é um conceito difícil para os alunos quando aparece pela primeira vez na disciplina. Na prática, três hábitos resolvem boa parte do problema: trabalhar sempre em N, mm e MPa, desenhar o diagrama de corpo livre antes de qualquer fórmula e conferir se o resultado faz sentido físico, como fazem os exercícios deste artigo.

Esforços internos: normal, cortante, fletor e torçor

Esforços internos são as forças e os momentos que uma parte da peça transmite à outra através de uma seção. Para encontrá-los, usa-se o método das seções: corta-se a peça por um plano imaginário no ponto de interesse, isola-se um dos lados e aplica-se o equilíbrio a ele. As forças que aparecem na face cortada são exatamente as que mantêm o trecho isolado em equilíbrio. Num problema geral há seis componentes, que se agrupam em quatro esforços:

Esforço	Símbolo	Tensão que provoca	Exemplo
Força normal	N	σ uniforme (tração positiva, compressão negativa)	Tirante, cabo, pilar
Força cortante	V	τ na seção	Parafuso numa junta, alma de viga
Momento fletor	M	σ linear: tração de um lado, compressão do outro	Viga, prateleira, eixo apoiado
Momento torçor	T	τ linear com o raio	Eixo de transmissão, chave de boca

O esquema abaixo mostra, para cada esforço, o trecho isolado pelo corte com o esforço na face e, embaixo, como a tensão se distribui na seção. Repare que só a força normal produz tensão uniforme; nos outros três casos a tensão varia de ponto a ponto, e é o valor máximo, na fibra mais solicitada, que interessa ao projeto.

Diagramas de esforços

Como os esforços mudam ao longo da peça, o curso ensina a traçá-los em gráficos: o diagrama de esforço normal (DEN), o de esforço cortante (DEC) e o de momento fletor (DMF). O ponto de maior valor do diagrama indica a seção crítica, onde se faz a verificação. Numa viga biapoiada com carga no meio do vão, por exemplo, o momento é zero nos apoios e máximo sob a carga, P · L / 4; é ali que a viga mais trabalha, como mostra o exercício 3. Duas relações ajudam a conferir os diagramas: a inclinação do diagrama de momento é igual à cortante, e o momento é máximo onde a cortante troca de sinal.

Tensão e deformação

Tensão é a força interna por unidade de área de uma seção, e deformação é a mudança de forma relativa que essa força produz. As duas grandezas tornam o cálculo independente do tamanho da peça: uma barra fina e uma grossa do mesmo aço escoam na mesma tensão, embora em forças muito diferentes.

Tensão normal e tensão de cisalhamento

A tensão normal, σ, age perpendicularmente à seção: σ = N / A, com N a força normal e A a área. A tensão de cisalhamento, τ, age no plano da seção e, na forma mais simples, é a média τ = V / A. A unidade do SI é o pascal (Pa = N/m²), pequeno demais para a engenharia; na prática usa-se o megapascal, e vale um atalho que evita a maior parte dos erros: 1 MPa = 1 N/mm². Com força em newtons e área em milímetros quadrados, a divisão já sai em MPa.

Deformação normal e distorção

A deformação normal, ε, é o alongamento dividido pelo comprimento inicial, ε = δ / L₀, adimensional; é comum expressá-la em %, em mm/mm ou em microdeformações (µε, 10⁻⁶). A distorção, γ, é a deformação de cisalhamento: a variação do ângulo reto entre duas linhas da peça, medida em radianos. Quando uma barra é tracionada, ela alonga na direção da carga e afina na direção transversal; a razão entre as duas deformações é o coeficiente de Poisson, ν = − ε_lat / ε_long.

Lei de Hooke e constantes elásticas

No regime elástico, a tensão é proporcional à deformação: σ = E · ε, a lei de Hooke escrita em tensão, que não depende da geometria da peça. A constante E é o módulo de elasticidade, ou módulo de Young, e mede a rigidez do material. No cisalhamento, a mesma lei fica τ = G · γ, com G o módulo de cisalhamento. Num material isotrópico, as três constantes se relacionam por G = E / [2 (1 + ν)]. Para o aço estrutural, a ABNT NBR 8800 adota E = 200 GPa; com ν = 0,3, a relação dá G = 200 / 2,6 = 76,9 GPa, os cerca de 77 GPa usados nos livros (cálculo da Biopdi). A lei vale só até o limite de proporcionalidade; depois dele, a curva se afasta da reta e as fórmulas elásticas deixam de valer.

De onde vêm E, σe e σr: o ensaio de tração

Os três números que alimentam quase todas as contas saem do ensaio de tração: um corpo de prova padronizado é tracionado até romper numa máquina universal, a célula de carga mede a força, o extensômetro mede o alongamento e o software converte tudo em tensão e deformação. O gráfico abaixo mostra uma curva tensão-deformação esquemática de aço dúctil com só as três marcações que interessam aqui, e para onde cada uma vai: a inclinação do trecho inicial é o módulo E; o limite de escoamento σ_e é lido onde uma reta paralela ao trecho elástico, deslocada de 0,2 % de deformação, corta a curva; e o limite de resistência σ_r é o ponto mais alto.

Sem esses números, as fórmulas não têm o que calcular. A leitura completa da curva, com o limite de proporcionalidade, o patamar de escoamento, a estricção e a curva verdadeira, está no artigo do diagrama tensão-deformação. Para metais, o ensaio segue a ABNT NBR ISO 6892-1:2024 ou a ASTM E8/E8M-25, e a determinação do módulo com exatidão tem norma própria, a ASTM E111-17(2025)e1 (edições conferidas em 07/10/2026).

Tabela de fórmulas de resistência dos materiais

As fórmulas da resistência dos materiais relacionam cada esforço interno com a tensão ou o deslocamento que ele produz. A tabela reúne as principais do curso básico, com as unidades práticas (N, mm, MPa) e o limite de validade de cada uma. São as formas clássicas presentes nos livros de Hibbeler, de Beer e Johnston e de Gere e Goodno, e todas supõem material homogêneo, isotrópico e em regime linear elástico:

Grandeza	Fórmula	Unidades práticas	Quando vale
Tensão normal média	σ = N / A	N, mm² → MPa	Carga axial centrada, longe de furos e entalhes
Tensão de cisalhamento média	τ = V / A	N, mm² → MPa	Média; em viga a máxima é maior (1,5 × no retângulo)
Deformação normal	ε = δ / L0	adimensional (mm/mm, %, µε)	Pequenas deformações
Lei de Hooke	σ = E · ε ; τ = G · γ	E e G em MPa (200 GPa = 200.000 MPa)	Até o limite de proporcionalidade
Relação entre constantes	G = E / [2 (1 + ν)]	MPa	Material isotrópico
Alongamento de barra	δ = N · L / (E · A)	mm	N, E e A constantes no trecho
Flexão (Navier)	σ = M · y / I ; σmáx = M / W	M em N·mm, I em mm⁴ → MPa	Seções planas continuam planas; material linear
Momento de inércia	retângulo: b · h³ / 12 ; círculo: π · d⁴ / 64	mm⁴	Em relação ao eixo centroidal de flexão
Módulo resistente	W = I / c ; retângulo: b · h² / 6	mm³	c = distância da linha neutra à fibra extrema
Cisalhamento máximo em viga retangular	τmáx = 1,5 · V / A	MPa	Seção retangular, na linha neutra
Torção	τ = T · r / J ; τmáx = 16 T / (π d³)	T em N·mm → MPa	Só seção circular, maciça ou tubular
Momento polar	maciço: π d⁴ / 32 ; tubo: π (D⁴ − d⁴) / 32	mm⁴	Seção circular
Ângulo de torção	φ = T · L / (G · J)	rad	T, G e J constantes no trecho
Flambagem de Euler	Pcr = π² · E · I / (K · L)²	N (com I mínimo)	Coluna esbelta: σcr abaixo do limite de proporcionalidade
Tensão crítica	σcr = π² · E / (K L / r)² ; r = √(I / A)	MPa	Idem
Tensão admissível	σadm = σe / n (ou σr / n)	MPa	Método das tensões admissíveis; n > 1

A coluna "quando vale" é tão importante quanto a fórmula. Uma folha de fórmulas sem os limites leva aos erros mais comuns do curso, como usar τ = T · r / J numa barra quadrada ou aplicar Euler numa coluna curta. As seções a seguir explicam cada grupo de fórmulas e o seu limite.

Carga axial: tração e compressão

Carga axial é a força aplicada ao longo do eixo da peça, que a alonga (tração) ou encurta (compressão) sem dobrá-la. A tensão é σ = N / A, uniforme na seção desde que a carga passe pelo centroide e a seção esteja longe de furos e de mudanças bruscas de diâmetro. O alongamento sai da lei de Hooke: como σ = E · ε e ε = δ / L, chega-se a δ = N · L / (E · A). A fórmula mostra que o alongamento cresce com a força e o comprimento e cai com a rigidez do material e com a área.

A convenção usual é tração positiva e compressão negativa. Na compressão, as mesmas fórmulas valem enquanto a peça é curta; se ela for esbelta, outro modo de falha aparece antes, a flambagem, tratada mais abaixo. Quando a peça tem trechos com áreas ou forças diferentes, o alongamento total é a soma dos alongamentos de cada trecho. O ensaio que mede a resposta do material à carga axial de compressão está no artigo do ensaio de compressão.

Flexão de vigas

Flexão é o comportamento de uma peça carregada transversalmente ao seu eixo, como uma viga ou uma prateleira: ela se curva, as fibras de um lado alongam e as do outro encurtam. Entre as duas existe uma superfície que não muda de comprimento, a linha neutra, que passa pelo centroide da seção quando o material é linear e não há força normal.

A fórmula de Navier

A tensão normal na flexão varia linearmente com a distância à linha neutra: σ = M · y / I, com M o momento fletor na seção, y a distância do ponto à linha neutra e I o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão. A tensão é zero na linha neutra e máxima nas fibras mais afastadas, a uma distância c; por isso o projeto usa σ_máx = M · c / I = M / W, com W = I / c o módulo resistente. Numa viga biapoiada com carga para baixo, as fibras de cima são comprimidas e as de baixo, tracionadas.

Por que a viga trabalha "em pé"

O momento de inércia de um retângulo é b · h³ / 12: cresce com o cubo da altura e só linearmente com a largura. Girar a mesma peça para que a maior dimensão fique na vertical aumenta muito o I e, com ele, reduz a tensão e a flecha. É o mesmo motivo pelo qual perfis I e vigas-caixão concentram material longe da linha neutra, onde ele mais contribui para o I. O exercício 3 mostra o efeito em números: a mesma peça de 100 × 200 mm trabalha com o dobro da tensão quando deitada.

Cisalhamento na flexão

Além do momento, a viga carrega uma força cortante, que produz tensão de cisalhamento na seção. Essa tensão não é uniforme: é zero nas fibras extremas e máxima na linha neutra, e numa seção retangular a máxima vale 1,5 vez a média, τ_máx = 1,5 · V / A, pela expressão geral τ = V · Q / (I · t) dos livros. Em vigas longas e esbeltas, a tensão normal da flexão costuma governar o projeto; em vigas curtas, muito carregadas perto do apoio, ou de madeira, o cisalhamento pode decidir. O ensaio que reproduz a flexão em laboratório, com três ou quatro pontos de carga, está no artigo do ensaio de flexão.

Torção de eixos circulares

Torção é o carregamento por um momento em torno do eixo da peça, o caso típico de um eixo de transmissão ou de uma chave apertando um parafuso. Numa seção circular, cada seção gira em relação à vizinha como um disco rígido, e a tensão de cisalhamento cresce linearmente do centro, onde é zero, até a superfície: τ = T · r / J, com T o torque, r a distância ao centro e J o momento polar de inércia (π · d⁴ / 32 no eixo maciço). Na superfície, τ_máx = 16 T / (π d³).

O ângulo de torção entre duas seções a uma distância L é φ = T · L / (G · J), em radianos. Ele é para a torção o que δ = N L / (E A) é para a carga axial, com G no lugar de E e J no lugar de A. A fórmula serve para verificar a rigidez do eixo: um eixo pode resistir à tensão e, mesmo assim, torcer demais para o mecanismo funcionar.

Como a tensão no centro é pequena, o material ali contribui pouco: um eixo tubular transmite quase o mesmo torque com bem menos massa, e por isso muitos eixos cardã de veículos são tubos. Já as fórmulas não valem para seções não circulares: uma barra quadrada ou um perfil aberto empena ao ser torcido, as seções deixam de ser planas, e a tensão máxima aparece no meio do lado, não no canto. O ensaio que mede o torque, o ângulo e o módulo G está no artigo do ensaio de torção.

Flambagem de colunas

Flambagem é a perda de estabilidade de uma peça comprimida esbelta: a partir de uma carga crítica, a coluna deixa de encurtar em linha reta e se curva lateralmente, de repente, mesmo com a tensão bem abaixo do escoamento. É um modo de falha por geometria, não por resistência do material.

A carga crítica de Euler

Para uma coluna ideal, reta, com carga centrada e material elástico, a carga crítica é P_cr = π² · E · I / (K · L)². O produto K · L é o comprimento efetivo, L_e, e o I é o momento de inércia mínimo da seção, porque a coluna flamba para o lado em que é menos rígida. A fórmula traz duas consequências que surpreendem quem a vê pela primeira vez:

• A carga crítica não depende da resistência do material. Ela depende de E, e o módulo de elasticidade é praticamente o mesmo para todos os aços, cerca de 200 GPa. Uma coluna esbelta de aço de alta resistência flamba com a mesma carga que uma de aço comum de mesma geometria.
• A carga cai com o quadrado do comprimento. Dobrar o comprimento divide a carga crítica por quatro.

Condições de apoio e o fator K

O fator de comprimento efetivo K traduz a condição das extremidades: quanto mais presas, mais curta é a "meia onda" da forma flambada e maior a carga crítica. Os valores teóricos são 1,0 para a coluna biarticulada, 2,0 para a engastada e livre, 0,7 para a engastada e articulada e 0,5 para a biengastada. O esquema abaixo desenha a forma flambada de cada caso e calcula a carga crítica para uma mesma barra de aço maciça de 30 mm de diâmetro e 2 m de comprimento, a barra do exercício 5: a carga vai de 4,9 kN, com uma ponta livre, a 78,5 kN, com as duas engastadas, uma diferença de 16 vezes só pela forma de prender.

As normas de projeto recomendam valores de K um pouco maiores que os teóricos para os casos com engaste, porque um engaste real nunca é perfeitamente rígido. Na verificação de uma estrutura, vale o valor da norma aplicável.

Quando a fórmula de Euler vale

Euler supõe material elástico durante toda a flambagem, então a fórmula só vale se a tensão crítica σ_cr = P_cr / A ficar abaixo do limite de proporcionalidade. A forma prática de conferir é pelo índice de esbeltez, K · L / r, com r = √(I / A) o raio de giração. Tomando σ_e = 250 MPa e E = 200 GPa como referência, σ_cr = σ_e quando K L / r = π · √(E / σ_e) ≈ 89 (cálculo da Biopdi). Colunas mais esbeltas que isso seguem Euler; colunas curtas e intermediárias falham por uma combinação de escoamento e instabilidade, e para elas se usam fórmulas inelásticas ou as curvas de resistência das normas de projeto.

Tensão admissível e coeficiente de segurança

Tensão admissível é a maior tensão que o projeto permite numa peça em serviço: o limite do material dividido por um coeficiente de segurança maior que 1, σ_adm = σ_lim / n. O coeficiente de segurança, n, é a razão entre a tensão (ou a carga) que leva à falha e a de serviço. Ele existe para cobrir o que o cálculo não sabe com exatidão: a carga real, que pode passar da prevista; a dispersão do material, porque nem todo lote tem a resistência do ensaio; as simplificações do modelo; e os defeitos de fabricação e de montagem.

Qual limite usar

A escolha do limite depende do comportamento do material:

• Material dúctil (aço estrutural, alumínio, cobre): usa-se o limite de escoamento, σ_adm = σ_e / n, porque uma peça que escoa já deformou permanentemente e deixou de servir, mesmo sem romper.
• Material frágil (ferro fundido cinzento, cerâmica, vidro, concreto na tração): não há escoamento definido, e usa-se o limite de resistência, σ_adm = σ_r / n, em geral com n maior, porque a ruptura vem sem aviso.

Um coeficiente de segurança sem a indicação do limite não diz nada. No exercício 1, a mesma barra tem n = 1,57 em relação ao escoamento e n = 2,51 em relação à ruptura, com o mesmo aço e a mesma carga.

Tensão admissível × estados-limites das normas

O "n" único é a forma didática do método das tensões admissíveis, o dos livros do curso básico. As normas brasileiras de estruturas trabalham de outro jeito: a ABNT NBR 8800:2024 (versão corrigida de 2025, edição conferida em 07/10/2026 na ficha do catálogo), de estruturas de aço e mistas de edificações, e a ABNT NBR 6118, de estruturas de concreto, usam o método dos estados-limites, em que as ações são majoradas e as resistências minoradas por coeficientes parciais, separados por tipo de ação e de material. O estudante deve dominar a tensão admissível para entender o raciocínio, mas o dimensionamento de uma estrutura real segue os coeficientes e as combinações da norma aplicável.

Exercícios resolvidos de resistência dos materiais

Os cinco exercícios a seguir cobrem os temas centrais do curso, um por tipo de esforço, e todos foram calculados e conferidos pela Biopdi. As propriedades são as do aço estrutural usadas nos artigos do site: E = 200 GPa, G = 77 GPa e σ_e = 250 MPa, o escoamento mínimo do aço ASTM A36, cujo limite de resistência especificado vai de 400 a 550 MPa. Todos usam N, mm e MPa.

Exercício 1: tração, verificação e alongamento

Uma barra maciça de aço A36, com 20 mm de diâmetro e 2,0 m de comprimento, é tracionada por 50 kN. Com coeficiente de segurança n = 1,5 em relação ao escoamento, a barra atende? Quanto ela alonga?

1. Área: A = π · d² / 4 = π · 20² / 4 = 314,16 mm².
2. Tensão: σ = N / A = 50.000 / 314,16 = 159,2 MPa.
3. Tensão admissível: σ_adm = 250 / 1,5 = 166,7 MPa. Como 159,2 < 166,7, a barra atende.
4. Alongamento: δ = N · L / (E · A) = 50.000 × 2.000 / (200.000 × 314,16) = 1,59 mm.
5. Conferência pela deformação: ε = σ / E = 159,2 / 200.000 = 7,96 · 10⁻⁴, ou 0,080 %; δ = ε · L = 0,000796 × 2.000 = 1,59 mm.

Resposta: σ ≈ 159 MPa, abaixo dos 167 MPa admissíveis; alongamento de 1,6 mm. O coeficiente de segurança real é 250 / 159,2 = 1,57 em relação ao escoamento e 400 / 159,2 = 2,51 em relação ao limite de resistência mínimo do A36.

Exercício 2: cisalhamento em parafuso

Duas chapas sobrepostas são unidas por um único parafuso de 12 mm de diâmetro, em corte simples (uma só seção do parafuso é cisalhada), e a junta transmite 10 kN. Qual a tensão de cisalhamento média no parafuso?

1. Área cisalhada: A = π · 12² / 4 = 113,1 mm².
2. Tensão média: τ = V / A = 10.000 / 113,1 = 88,4 MPa.

Resposta: τ ≈ 88 MPa. É uma tensão média, e a verificação real de uma ligação parafusada segue a norma de projeto, que considera também o esmagamento da chapa no furo e a ruptura da chapa na seção furada. Se a mesma junta tivesse duas seções de corte (corte duplo, com o parafuso atravessando três chapas), a tensão cairia à metade, 44,2 MPa.

Exercício 3: flexão de viga biapoiada

Uma viga de seção retangular, b = 100 mm e h = 200 mm, vence um vão de 4 m entre dois apoios e recebe uma carga concentrada de 10 kN no meio do vão. Desprezando o peso próprio, qual a tensão normal máxima? E se a mesma peça fosse montada deitada?

1. Momento máximo, sob a carga: M = P · L / 4 = 10 × 4 / 4 = 10 kN·m = 10 · 10⁶ N·mm.
2. Momento de inércia em pé: I = b · h³ / 12 = 100 × 200³ / 12 = 6,667 · 10⁷ mm⁴, com c = h / 2 = 100 mm.
3. Tensão máxima: σ = M · c / I = 10 · 10⁶ × 100 / 6,667 · 10⁷ = 15,0 MPa. Conferência: W = b · h² / 6 = 666.667 mm³ e σ = M / W = 15,0 MPa.
4. Deitada (b = 200 mm, h = 100 mm): I = 200 × 100³ / 12 = 1,667 · 10⁷ mm⁴, c = 50 mm e σ = 10 · 10⁶ × 50 / 1,667 · 10⁷ = 30,0 MPa.
5. Cisalhamento: a cortante é V = P / 2 = 5 kN, e a tensão máxima, na linha neutra, é τ = 1,5 × 5.000 / (100 × 200) = 0,375 MPa.

O esquema abaixo junta as etapas: a viga com a carga, o diagrama de momento fletor com o máximo sob a carga e a distribuição linear de tensão nas duas posições da seção, desenhadas na mesma escala.

Resposta: 15,0 MPa em pé (compressão em cima, tração embaixo) e 30,0 MPa deitada. A mesma peça, com a mesma área, trabalha com o dobro da tensão quando deitada, porque a tensão máxima de um retângulo cai com o quadrado da altura. A tensão de cisalhamento, de 0,375 MPa, é pequena perto da de flexão, o caso típico de viga longa.

Exercício 4: torção de eixo maciço

Um eixo maciço de aço, com 40 mm de diâmetro e 1 m de comprimento, transmite um torque de 1,2 kN·m. Qual a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção entre as extremidades?

1. Momento polar: J = π · d⁴ / 32 = π × 40⁴ / 32 = 251.327 mm⁴; raio externo r = 20 mm.
2. Tensão máxima: τ = T · r / J = 1,2 · 10⁶ × 20 / 251.327 = 95,5 MPa. Conferência: 16 T / (π d³) = 16 × 1,2 · 10⁶ / (π × 40³) = 95,5 MPa.
3. Ângulo de torção: φ = T · L / (G · J) = 1,2 · 10⁶ × 1.000 / (77.000 × 251.327) = 0,0620 rad.
4. Em graus: 0,0620 × 180 / π = 3,55°.

Resposta: τ_máx ≈ 95,5 MPa na superfície e φ ≈ 3,55° por metro. No centro do eixo a tensão é zero, e a 10 mm do centro é a metade, 47,7 MPa. Se o projeto limitar o giro a, por exemplo, 1° por metro, este eixo atende à tensão, mas não à rigidez, e precisa de diâmetro maior.

Exercício 5: flambagem de Euler e verificação de validade

Uma barra maciça de aço, com 30 mm de diâmetro e 2 m de comprimento, é comprimida com as duas extremidades articuladas (K = 1). Com E = 200 GPa e σ_e = 250 MPa, qual a carga crítica de flambagem? Ela vale? Como se compara com a carga que esmagaria a seção?

1. Geometria: I = π · d⁴ / 64 = π × 30⁴ / 64 = 39.761 mm⁴; A = π × 30² / 4 = 706,86 mm²; r = √(I / A) = d / 4 = 7,5 mm.
2. Esbeltez: K · L / r = 1 × 2.000 / 7,5 = 266,7, muito acima do limite de cerca de 89 calculado na seção de flambagem.
3. Carga crítica: P_cr = π² × 200.000 × 39.761 / 2.000² = 19.621 N ≈ 19,6 kN.
4. Validade: σ_cr = 19.621 / 706,86 = 27,8 MPa, bem abaixo de 250 MPa, então a fórmula de Euler vale.
5. Esmagamento: σ_e · A = 250 × 706,86 = 176.715 N ≈ 176,7 kN.

Resposta: P_cr ≈ 19,6 kN, cerca de 9 vezes menos que os 176,7 kN que escoariam a seção. A barra falha por instabilidade muito antes de o material chegar ao seu limite. Com as duas pontas engastadas (K = 0,5), a carga crítica sobe para 78,5 kN, ainda abaixo do esmagamento, e a esbeltez, de 133,3, ainda está na faixa de Euler. Trocar o aço por outro de escoamento maior não muda nenhum desses números: o que aumenta a carga crítica é diminuir o comprimento efetivo ou aumentar o momento de inércia.

Erros comuns e limites de validade

A maior parte dos erros em resistência dos materiais não está na fórmula, mas no uso dela fora das hipóteses ou com unidades misturadas. Os mais frequentes, em prova e em projeto:

• Misturar unidades. Força em kN com área em mm² dá kN/mm², mil vezes o MPa. Regra prática: força em N, comprimento em mm, tensão e E em MPa (200 GPa = 200.000 MPa), momento em N·mm.
• Confundir a disciplina com a propriedade. A disciplina calcula; a resistência mecânica é o dado do material que entra no cálculo.
• Usar a lei de Hooke depois do escoamento. σ = E · ε só vale no trecho linear; acima dele, a deformação cresce muito mais que a tensão e o deslocamento calculado sai pequeno demais.
• Aplicar τ = T · r / J em seção não circular. Barras retangulares e perfis abertos empenam e exigem outra teoria.
• Achar que aço mais resistente flamba menos. A carga de Euler depende de E e da geometria, não de σ_e.
• Aplicar Euler em coluna curta. Se σ_cr passa do limite de proporcionalidade, a fórmula superestima a carga; é preciso conferir a esbeltez.
• Tomar τ = V / A como a tensão máxima numa viga. É a média; no retângulo, a máxima é 1,5 vez maior.
• Usar o momento de inércia do eixo errado. Na flexão vale o I em relação ao eixo em torno do qual a viga se curva; na flambagem, o I mínimo da seção.
• Dar um coeficiente de segurança sem dizer a que limite ele se refere. n em relação a σ_e e em relação a σ_r são números diferentes, como mostra o exercício 1.
• Esquecer a concentração de tensões. σ = N / A é a média longe de furos, entalhes e cantos vivos; junto deles, a tensão local é várias vezes maior, e é ali que as trincas começam.
• Usar fórmulas estáticas para carga cíclica ou temperatura alta. Uma peça carregada milhões de vezes rompe abaixo do escoamento, por fadiga; sob carga constante e a quente, deforma com o tempo, por fluência.
• Ler a tensão de engenharia como tensão real depois da estricção. O diagrama convencional divide pela área inicial; quando o corpo de prova afina na estricção, a curva cai, mas a tensão verdadeira continua subindo.

Livros de resistência dos materiais

Três livros-texto dominam as ementas brasileiras de resistência dos materiais, todos com teoria, exemplos resolvidos e centenas de exercícios. As edições abaixo foram conferidas em 07/10/2026 no catálogo das editoras ou em biblioteca universitária:

Livro	Edição conferida	Para quem serve
R. C. Hibbeler, Resistência dos materiais	10ª ed., Pearson, 2018 (ISBN 978-85-430-2499-8), 768 p.	Teoria com exemplos ilustrativos e problemas de vários níveis de dificuldade, em unidades SI
F. P. Beer, E. R. Johnston Jr., J. T. DeWolf e D. F. Mazurek, Mecânica dos materiais	8ª ed., AMGH (Grupo A), 2021, 864 p.	Princípios em contextos simples, sempre com aplicação, e uso amplo de diagramas
J. M. Gere e B. J. Goodno, Mecânica dos materiais	Cengage Learning, 2010 (tradução da 7ª ed. norte-americana)	Texto extenso (858 páginas), alternativa completa aos outros dois

Para a história da disciplina, a referência é History of Strength of Materials, de Stephen Timoshenko (McGraw-Hill, 1953). Como complemento gratuito, a apostila de Resistência dos Materiais I da UFJF está aberta na internet e cobre o primeiro curso inteiro, com exercícios por capítulo. Edições mais antigas dos livros continuam circulando e servem para estudar, mas a numeração dos exercícios muda de uma edição para outra: na dúvida, use a edição indicada pelo professor.

Onde os números são medidos: a máquina universal de ensaios

As fórmulas da resistência dos materiais tratam o material por três números, E, σ_e e σ_r, e esses números são medidos numa máquina universal de ensaios. Ela aplica a força com velocidade controlada, mede a força com uma célula de carga e, com um extensômetro preso ao corpo de prova, mede a deformação com a exatidão que o módulo e o escoamento a 0,2 % exigem. Trocando as garras por outros dispositivos, a mesma máquina reproduz em laboratório os esforços do curso: tração e compressão, flexão em três ou quatro pontos e cisalhamento de parafusos e pinos. Cada fórmula tem, assim, um ensaio correspondente:

Fórmula do curso	Ensaio que fornece o dado	Artigo
σ = N / A, δ = N L / (E A), σadm = σe / n	Tração: E, σe e σr	ensaio de tração
Compressão de peça curta	Compressão	ensaio de compressão
σ = M · y / I	Flexão de 3 ou 4 pontos	ensaio de flexão
τ = V / A	Cisalhamento de pinos, parafusos e juntas	ensaio de cisalhamento
τ = T · r / J, φ = T L / (G J)	Torção: torque, ângulo e G	ensaio de torção

A Biopdi fabrica a máquina universal de ensaios da linha M2, de 200 N a 1.000 kN, com células de carga classe 1 pela ABNT NBR ISO 7500-1:2023, extensômetros clip-on e o software BioLab, que traça a curva e calcula o módulo, o escoamento e o limite de resistência. Para torção, a Biopdi tem a máquina de ensaio de torque, com capacidades de 1, 5 e 10 N·m (outras sob consulta) e corpos de prova com diâmetros de 1 a 8 mm e de 5 a 20 mm, e a máquina universal pode receber um módulo de torção associado à tração, sob consulta. O painel abaixo mostra a máquina universal M2, o papel de cada parte na medição e os dispositivos que reproduzem os esforços do curso:

Num laboratório de ensino, a mesma máquina serve às duas pontas da disciplina: mede as propriedades que entram nas fórmulas e permite conferir as próprias fórmulas, carregando uma viga em flexão e comparando a flecha medida com a calculada, como na foto do início deste artigo.

Conclusão

Resistência dos materiais é a disciplina que leva do equilíbrio às dimensões de uma peça: o método das seções dá os esforços, as fórmulas transformam cada esforço em tensão e deslocamento, e a comparação com a tensão admissível decide se a peça serve. Cada fórmula vale dentro de hipóteses claras (material elástico, seção circular na torção, coluna esbelta em Euler), e os números que ela usa vêm do ensaio. Os exercícios deste artigo mostram as três lições que mais aparecem no projeto: a viga trabalha melhor em pé, a coluna esbelta falha por instabilidade antes de o material ceder e um coeficiente de segurança só faz sentido com o limite a que se refere.

Para aprofundar cada propriedade usada aqui, veja os artigos sobre propriedades mecânicas dos materiais, o diagrama tensão-deformação e o módulo de elasticidade do aço. Para equipar um laboratório de ensino ou de controle de qualidade, fale com um de nossos especialistas.