Módulo de cisalhamento (G): o que é, fórmula, relação com E e ν, valores e como medir

O módulo de cisalhamento (G), também chamado de módulo de elasticidade transversal ou módulo de rigidez, mede a rigidez de um material contra a distorção: é a razão entre a tensão de cisalhamento e a deformação angular, em radianos, no regime elástico, G = τ/γ. Para o aço estrutural, a ABNT NBR 8800 adota G = 77.000 MPa (77 GPa). Num material isotrópico, G se calcula a partir do módulo de Young e do coeficiente de Poisson por G = E/[2(1 + ν)], e por isso fica sempre entre E/3 e E/2.

Em resumo:

• Fórmula: G = τ/γ, com τ em MPa e γ em radianos; G sai na unidade da tensão, em GPa nos metais.
• Valores de referência: aço 77 GPa (NBR 8800) e 75 a 83 GPa nas tabelas; alumínio 25 GPa; cobre 46 GPa; concreto C30 cerca de 11 GPa (NBR 6118); borracha da ordem de megapascals.
• Relação com E e ν: G = E/[2(1 + ν)], válida só para material isotrópico. Com ν = 0,3, G ≈ 0,385·E.
• Medição: pela inclinação da curva torque × ângulo no ensaio de torção (ASTM E143-20), por vibração (ASTM E1876-22) ou, em compósitos, por corpos de prova com entalhe em V (ASTM D5379 e D7078).

Este artigo trata o módulo como propriedade do material: o que ele é, de onde vem a relação com E e ν, quais valores usar em projeto, como se mede e onde ele decide um cálculo. O ensaio de corte de pinos, adesivos e compósitos está em ensaio de cisalhamento, e o passo a passo do ensaio de torção, em ensaio de torção.

O que é o módulo de cisalhamento

Uma força pode agir sobre uma face de duas maneiras. Perpendicular à face, ela traciona ou comprime, e a resposta do material é alongar ou encurtar; a rigidez contra isso é o módulo de elasticidade E. Paralela à face, ela tenta fazer as camadas do material deslizarem umas sobre as outras. Essa é a solicitação de cisalhamento, e a tensão correspondente é a tensão de cisalhamento, τ = F/A, a força paralela dividida pela área da face em que ela age.

Sob cisalhamento, o material não muda de comprimento: muda de forma. Um cubo vira um paralelepípedo inclinado, e o ângulo reto entre duas arestas diminui. Essa variação de ângulo é a deformação de cisalhamento, ou distorção, γ. Se a face de cima de um bloco de altura h se desloca Δx em relação à de baixo, γ ≈ Δx/h, em radianos. O módulo de cisalhamento é a constante que liga as duas grandezas enquanto o material se comporta como uma mola: τ = G·γ. É a lei de Hooke escrita para o cisalhamento.

O esquema abaixo mostra as duas coisas lado a lado. À esquerda, o bloco com a base fixa e a força F aplicada na face de cima: o deslocamento Δx, a altura h e o ângulo γ que mede a distorção. À direita, a curva τ × γ de um aço, com o trecho reto inicial cuja inclinação é G, o ponto em que a reta termina e o escoamento em cisalhamento, perto de 144 MPa para um aço com escoamento de 250 MPa em tração.

A leitura da curva é a mesma do diagrama tensão-deformação da tração. G vale só no trecho reto, até o limite de proporcionalidade; dali em diante a curva se inclina e a deformação passa a ter parcela permanente. O valor de G de um aço é cerca de 2,6 vezes menor que o seu E: com a mesma tensão, o aço distorce mais do que alonga.

Os nomes da mesma propriedade

"Módulo de cisalhamento", "módulo de elasticidade transversal" e "módulo de rigidez" designam a mesma grandeza G. As normas brasileiras de projeto, como a NBR 8800 e a NBR 6118, usam "módulo de elasticidade transversal"; a literatura de materiais e as normas ASTM usam "shear modulus", traduzido como módulo de cisalhamento; "módulo de rigidez" vem de "modulus of rigidity", comum em tabelas de engenharia mecânica. Textos mais antigos também falam em "módulo de Coulomb" ou "módulo de torção", e em Portugal se diz "módulo de corte". O símbolo é sempre G; a letra E fica para o módulo de Young e K para o módulo volumétrico.

Rigidez não é resistência

O módulo de cisalhamento diz quanto o material distorce sob uma tensão, não quanto ele aguenta. A tensão máxima que o material suporta em cisalhamento é a resistência ao cisalhamento, em MPa, medida no ensaio de cisalhamento. As duas grandezas são independentes: um aço doce e um aço temperado têm praticamente o mesmo G, perto de 77 a 80 GPa, e resistências ao cisalhamento que diferem várias vezes. Tratamento térmico, encruamento e teor de carbono mudam muito a resistência e quase nada a rigidez, como acontece com o módulo de Young.

O módulo do material e a rigidez da peça

G é propriedade do material e não depende da forma da peça. Quando um eixo é torcido, o que o projetista sente é a rigidez torcional, k = G·J/L, em N·m/rad: o torque necessário para girar a peça um radiano. Ela junta o material (G), a seção (o momento polar de inércia J) e o comprimento (L). Dois eixos do mesmo aço, um maciço e outro tubular, têm o mesmo G e rigidezes torcionais muito diferentes. Confundir as duas coisas é um dos erros mais comuns em relatórios de ensaio de torção, porque a inclinação da curva torque × ângulo é G·J/L, e não G.

Fórmula do módulo de cisalhamento e unidades

A definição se escreve em três passos. A tensão é τ = F/A, em N/mm², que é o mesmo que MPa. A distorção é γ ≈ Δx/h, uma razão entre dois comprimentos e, portanto, adimensional; a aproximação vale porque, nos ângulos pequenos do regime elástico, o ângulo em radianos e a sua tangente são praticamente iguais. O módulo é G = τ/γ e tem a unidade da tensão.

O radiano não é detalhe de notação. Ele é o ângulo cuja medida é a razão entre o arco e o raio, e é por isso que a distorção sai como Δx/h. Escrever a distorção em graus multiplica o denominador por 180/π = 57,3, e o G calculado sai 57,3 vezes menor que o real: um aço de 79 GPa passa a parecer um polímero de 1,4 GPa (exercício 3). Toda fórmula com ângulo neste assunto, seja γ, seja o ângulo de torção θ, usa radianos.

Nos metais, G se escreve em GPa (77 GPa) ou em MPa (77.000 MPa), como faz a NBR 8800. Em memoriais antigos aparece o kgf/cm²: 77.000 MPa equivalem a cerca de 7,85 × 10⁵ kgf/cm², com 1 kgf/cm² = 0,0980665 MPa. Em kN/cm², unidade de alguns programas de cálculo estrutural, são 7.700 kN/cm². Nos elastômeros o valor é tão baixo que se usa MPa diretamente. A tabela resume as fórmulas da definição e as que levam G para a peça:

Grandeza	Fórmula	Unidade e validade
Tensão de cisalhamento média	τ = F / A	MPa; F paralela à face de área A
Distorção	γ ≈ Δx / h	rad; pequenas deformações
Módulo de cisalhamento	G = τ / γ	GPa; só no trecho linear
Relação com E e ν	G = E / [2(1 + ν)]	só material isotrópico
Ângulo de torção de um eixo circular	θ = T·L / (G·J)	rad; regime elástico
G medido por torção	G = (ΔT / Δθ)·L / J	inclinação do trecho linear

Relação entre E, G e ν: G = E/[2(1 + ν)]

Num material isotrópico, com as mesmas propriedades em todas as direções, o módulo de cisalhamento não é uma constante independente: ele é determinado pelo módulo de Young E e pelo coeficiente de Poisson ν. A relação é G = E/[2(1 + ν)], e é por ela que as normas de projeto dão G sem exigir ensaio de torção. Entender de onde ela vem mostra também quando ela deixa de valer.

A dedução em quatro passos

O esquema abaixo segue o raciocínio da esquerda para a direita. Primeiro, um quadrado em cisalhamento puro: as tensões τ nas quatro faces o transformam num losango, e uma das diagonais alonga enquanto a outra encurta. Depois, o mesmo estado de tensão visto num quadrado girado a 45°: nas faces desse quadrado não há cisalhamento, só uma tração σ₁ = +τ numa direção e uma compressão σ₂ = −τ na outra. Por fim, a conta que liga as duas leituras, que a lista abaixo do esquema detalha passo a passo.

1. Hooke generalizada na diagonal tracionada. A deformação na direção 1 tem duas parcelas: o alongamento causado por σ₁ e o alongamento extra causado pela compressão σ₂ na direção perpendicular, pelo efeito de Poisson. ε₁ = (σ₁ − ν·σ₂)/E = (τ + ν·τ)/E = τ(1 + ν)/E.
2. Geometria do losango. Quando o ângulo reto de um quadrado muda de um γ pequeno, a diagonal alonga uma fração γ/2 do seu comprimento: ε_45° = γ/2.
3. As duas são a mesma deformação. A diagonal do quadrado original é a direção 1 do quadrado girado, então γ/2 = τ(1 + ν)/E.
4. Isolando τ/γ: τ/γ = E/[2(1 + ν)], e τ/γ é, por definição, G.

A dedução usou um único E e um único ν para as direções 1 e 2. É isso que restringe a fórmula aos materiais isotrópicos. Em compósitos de fibra, madeira e chapas laminadas com textura forte, a rigidez muda com a direção, e o módulo de cisalhamento no plano, chamado G₁₂, é uma constante independente que precisa ser medida. Aplicar a fórmula a um laminado de carbono e epóxi, por exemplo, pode errar G por um fator de várias vezes.

G fica sempre entre E/3 e E/2

Nos materiais comuns, ν vai de perto de zero, como na cortiça, a perto de 0,5, como na borracha, que quase não muda de volume. Substituindo os extremos na fórmula, G vai de E/2 (ν = 0) a E/3 (ν = 0,5). Com ν = 0,3, valor de projeto do aço, G = E/2,6 = 0,385·E; com ν = 0,25, G = 0,4·E; com ν = 0,2, valor de projeto do concreto, G = E/2,4. É uma conferência rápida de qualquer tabela: um G maior que a metade do E, num material isotrópico, indica erro de digitação ou de unidade. A faixa teórica completa de ν, que vai de −1 a 0,5 e inclui os materiais auxéticos, está no artigo sobre o coeficiente de Poisson.

O mesmo raciocínio liga G ao módulo volumétrico K, a rigidez contra a mudança de volume: num material isotrópico, E = 2G(1 + ν) = 3K(1 − 2ν), e dois quaisquer desses módulos determinam os outros. Para o aço da NBR 8800, com E = 200 GPa e ν = 0,3, K = 200/[3 × (1 − 0,6)] = 166,7 GPa, mais que o dobro de G. Na borracha acontece o oposto: com ν perto de 0,5, K fica milhares de vezes maior que G, e o material quase não muda de volume, só de forma.

A mesma relação, invertida, dá o coeficiente de Poisson a partir de dois módulos medidos: ν = E/(2G) − 1. É assim que os métodos de vibração obtêm ν sem extensômetro transversal, e é também uma forma de conferir se E e G de uma ficha técnica são coerentes entre si (exercício 1).

Por que a fórmula não bate exatamente com as tabelas

Calculado pela fórmula, o aço da tabela de Callister e Rethwisch (E = 207 GPa, ν = 0,30) daria 207/2,6 = 79,6 GPa, mas a mesma tabela lista 83 GPa medidos. No cobre e no titânio, o valor calculado fica cerca de 11 % abaixo do tabelado. As causas são duas. Primeiro, E, G e ν das tabelas vêm de medições independentes, feitas em amostras e ligas que não são as mesmas. Segundo, um metal policristalino só é isotrópico na média: os grãos são cristais anisotrópicos, e laminação e trefilação os orientam, criando textura. A fórmula é uma boa estimativa, com erro de alguns por cento nos metais comuns; quando o projeto depende de G com mais precisão, como em molas e barras de torção, mede-se.

Valores do módulo de cisalhamento por material

Os valores de G cobrem cinco ordens de grandeza, dos metais mais rígidos aos elastômeros. O gráfico abaixo usa escala logarítmica, em que cada divisão multiplica o valor por dez: os metais ficam entre 17 e 160 GPa, o concreto perto de 11 GPa, os polímeros rígidos perto de 1 GPa e a borracha na casa dos megapascals. Nos metais, as barras são valores medidos; no concreto, o valor da NBR 6118 para um C30; nos polímeros, estimativas calculadas a partir de E e ν, com a faixa clara mostrando a variação entre graus.

A tabela traz os metais com os três módulos juntos, nos mesmos valores usados nos artigos sobre módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson. As linhas de aço mostram as três origens de valor que circulam: a norma de projeto, o livro-texto e a ficha de um aço específico.

Material	E (GPa)	ν	G (GPa)
Aço estrutural, projeto (NBR 8800)	200	0,3	77
Aço, valor didático (Callister)	207	0,30	83
Aço A36 (ficha MatWeb/ASM)	200	0,26	79,3
Tungstênio	407	0,28	160
Níquel	207	0,31	76
Cobre	110	0,34	46
Titânio	107	0,34	45
Latão	97	0,34	37
Alumínio	69	0,33	25
Magnésio	45	0,29	17

Fontes: ABNT NBR 8800 (item 4.5.2.9, conferido no texto de 2008); Callister e Rethwisch, Ciência e Engenharia de Materiais, Tabela 6.1, para os demais metais; ficha MatWeb/ASM para o A36. Algumas tabelas na internet trazem o cobre com cerca de 63 GPa, valor incompatível com o E de 110 GPa: pela fórmula, nenhum ν entre 0 e 0,5 levaria a mais que 55 GPa. O valor medido fica entre 44 e 46 GPa.

Fora dos metais, a mesma conta com os E e ν dos artigos do site dá a ordem de grandeza: o vidro sodo-cálcico, com E = 69 GPa e ν = 0,22, tem G ≈ 69/2,44 = 28 GPa, quase o mesmo do alumínio, mas rompe sem deformação plástica. Madeira e compósitos de fibra ficam fora desta tabela, porque têm um G para cada plano e precisam de ensaio (veja a seção de medição).

Módulo de cisalhamento do aço: 77, 80 ou 83 GPa?

O módulo de cisalhamento do aço fica entre 77 e 83 GPa, e os três números que mais circulam estão certos, cada um no seu contexto. A NBR 8800, norma de estruturas de aço e mistas, fixa E = 200.000 MPa, ν = 0,3 e G = 77.000 MPa; a conta 200/2,6 = 76,9 GPa mostra que os três valores são coerentes entre si. Quem projeta pela NBR 6118, que adota E = 210 GPa para a armadura, e aplica ν = 0,3, chega a 210/2,6 = 80,8 GPa. As fichas de aços específicos dão de 79 a 80 GPa, como o A36 com 79,3 GPa, e o Callister lista 83 GPa como valor didático. As tabelas que trazem "80 a 85 GPa" partem de E entre 207 e 210 GPa. A regra prática é usar o G da mesma fonte que deu o E do cálculo. Misturar E = 210 GPa com G = 77 GPa, por exemplo, implica um ν de 0,36, que nenhum aço tem. Os valores de E por tipo de aço estão no artigo sobre o módulo de elasticidade do aço.

Módulo de cisalhamento do concreto: G_c = E_cs/2,4 pela NBR 6118

A ABNT NBR 6118:2023, no item 8.2.9, permite adotar para o concreto ν = 0,2 e módulo de elasticidade transversal G_c = E_cs/2,4, desde que as tensões de compressão fiquem abaixo de 0,5 f_c e as de tração abaixo da resistência à tração f_ct. O 2,4 não é empírico: é 2 × (1 + 0,2), ou seja, a mesma fórmula isotrópica com o ν do concreto. E_cs é o módulo secante, calculado a partir do f_ck e do agregado, como mostra o artigo sobre o módulo de elasticidade do concreto. Com granito, os valores são:

Classe	Ecs (GPa)	Gc = Ecs/2,4 (GPa)
C25	24,2	10,1
C30	26,8	11,2
C40	31,9	13,3

A condição de tensão importa. Acima dela, o concreto microfissura, as fissuras abrem na direção perpendicular à tração, e a rigidez ao cisalhamento cai bem abaixo do G_c elástico. Por isso o valor da norma vale para cálculo de deformações em serviço, não para o comportamento próximo da ruptura. Valores genéricos de "concreto = 21 GPa", que aparecem em tabelas estrangeiras sem classe nem agregado, não seguem a NBR 6118 e não devem entrar em projeto brasileiro.

Polímeros e borracha

Nos polímeros, G não é uma constante do material da mesma forma que nos metais. Eles são viscoelásticos: parte da deformação demora a aparecer e a desaparecer, e a rigidez medida depende da temperatura, do tempo de carga e da frequência. Perto da temperatura de transição vítrea, G pode cair cem vezes em poucas dezenas de graus. Sob carga oscilante, o módulo se divide em duas partes, o módulo complexo G* = G' + iG'': G' é a parcela elástica, a energia armazenada e devolvida a cada ciclo, e G'' é a parcela viscosa, a energia dissipada como calor. Esse é o resultado da análise dinâmico-mecânica (DMA).

Para estimativa de projeto à temperatura ambiente, a fórmula isotrópica dá a ordem de grandeza com os E e ν dos artigos do site: policarbonato, com E = 2,38 GPa e ν = 0,36, tem G ≈ 0,88 GPa; PVC rígido, com E de 2,41 a 4,14 GPa e ν = 0,38, fica entre 0,87 e 1,5 GPa; náilon 6,6, com E de 1,59 a 3,79 GPa e ν = 0,39, entre 0,57 e 1,4 GPa. Na borracha, com ν perto de 0,5, G ≈ E/3; para a faixa de E de 0,01 a 0,1 GPa, isso dá de cerca de 3 a 33 MPa. Os compostos macios ficam abaixo dessa faixa: a especificação AASHTO LRFD de pontes indica, para os elastômeros comuns de aparelhos de apoio, com dureza de 50 a 60 Shore A, G entre 0,55 e 1,2 MPa (0,080 a 0,175 ksi), e a tabela clássica de Crandall, Dahl e Lardner (An Introduction to the Mechanics of Solids) dá 0,3 MPa para a borracha mole. Nos elastômeros, o valor depende muito da dureza e da formulação do composto, e o fabricante do componente deve fornecer o G medido na temperatura de uso.

Como se mede o módulo de cisalhamento

Medir G é medir uma tensão de cisalhamento e uma distorção ao mesmo tempo, no próprio corpo de prova, dentro do trecho linear. Os métodos diferem na forma de criar o cisalhamento: torção de uma barra, vibração torcional, um corpo de prova entalhado que concentra o cisalhamento num plano, ou uma onda que atravessa a amostra. O ensaio de tração simples não dá G: ele dá E, e só com ν medido no mesmo ensaio, e para material isotrópico, se estima G pela fórmula.

Ensaio de torção (ASTM E143)

A torção de uma barra circular é a forma mais limpa de obter cisalhamento puro, porque cada ponto da superfície fica sob τ sem tensão normal. A ASTM E143-20 padroniza a determinação de G por torção, à temperatura ambiente, para materiais estruturais em que a fluência seja desprezível durante o ensaio. O método aplica torque crescente e registra o ângulo de torção entre duas seções do comprimento útil; G sai da inclinação do trecho reto da curva torque × ângulo, G = (ΔT/Δθ)·L/J, em que J = π·d⁴/32 é o momento polar de inércia da seção maciça.

Na foto, uma barra de aço depois do ensaio de torção: a linha que foi pintada reta ao longo do comprimento virou uma hélice. O ângulo que essa linha faz com o eixo é a deformação de cisalhamento, e é com ela que se calcula o módulo G.

Na superfície, essa distorção vale γ = r·θ/L, com r o raio, θ o ângulo de torção e L o comprimento entre as seções medidas. Ela é nula no centro e máxima na superfície, assim como a tensão, e a razão entre as duas é G em qualquer raio enquanto o material for elástico. O corpo de prova, a fixação, a velocidade e a leitura da curva até a ruptura estão no artigo sobre ensaio de torção; para o módulo, quatro cuidados decidem o resultado:

• Inclinação, não ponto isolado. A ASTM E143 tira G da inclinação do trecho linear, ajustada a vários pontos. Um ponto isolado carrega o ângulo de acomodação das garras no início do ensaio e pode errar alguns por cento (exercício 2).
• Ângulo no comprimento útil. O giro do mandril soma a folga das garras e a deformação do conjunto. Para G, o ângulo é medido entre duas seções do corpo de prova ou corrigido pela rigidez do sistema.
• Diâmetro medido. O diâmetro entra na quarta potência em J: 1 % de erro no diâmetro vira cerca de 4 % de erro em G.
• Alinhamento e estado do material. A norma aponta tensões residuais, concentricidade, espessura de parede dos tubos, temperatura e alinhamento axial como fatores que afetam o resultado. Em tubos, J = π·(D⁴ − d⁴)/32, e a espessura de parede precisa ser medida.

Vibração por impulso (ASTM E1876)

A ASTM E1876-22 obtém E, G e ν dinâmicos sem carregar a peça até tensões de ensaio: uma barra retangular ou cilíndrica recebe uma pancada leve, e um sensor capta as frequências naturais de vibração. A frequência de flexão dá E; a frequência de torção dá G; ν sai de ν = E/(2G) − 1. O método é rápido, repetível e não destrutivo, e por isso é usado em controle de qualidade de cerâmicas, refratários e metais; a distinção entre ensaios que consomem e que preservam a amostra está em ensaios destrutivos e não destrutivos. O valor dinâmico não precisa coincidir com o estático, sobretudo em polímeros e concreto, e uma especificação que pede valor estático deve ser seguida.

Compósitos: entalhe em V (ASTM D5379 e D7078)

Num laminado de fibra, G₁₂ tem de ser medido, porque a fórmula isotrópica não se aplica. Os dois métodos mais usados concentram o cisalhamento numa região entre dois entalhes em V. Na ASTM D5379, o corpo de prova é uma viga carregada pelas bordas (método Iosipescu); na ASTM D7078, ele é preso pelas faces em dois trilhos, o que permite forças maiores e uma área útil maior. Nos dois casos, dois extensômetros elétricos colados a +45° e −45° no centro do corpo de prova dão a distorção, γ = ε₊₄₅ − ε₋₄₅, e o resultado é um módulo de corda entre dois níveis de deformação, válido só para o plano ensaiado. O dispositivo é montado numa máquina universal; os detalhes do ensaio estão no artigo sobre ensaio de cisalhamento.

Outros ensaios na máquina universal: ±45°, quádruplo cisalhamento e núcleo de sanduíche

Três outros métodos tiram G de um ensaio comum de tração ou de compressão, com o dispositivo certo e medição de deformação no corpo de prova. Na ASTM D3518/D3518M, um laminado com fibras a +45° e −45° é tracionado; a tensão de cisalhamento no plano é metade da tensão axial, τ₁₂ = P/(2A), a distorção é a soma das deformações longitudinal e transversal em módulo, γ₁₂ = ε_x − ε_y, e G₁₂ sai da inclinação de τ₁₂ × γ₁₂. É o caminho mais simples para compósitos, porque usa o corpo de prova reto de tração. Na ISO 1827, quatro blocos de borracha colados entre placas rígidas são cisalhados ao mesmo tempo; o módulo sai da força e do deslocamento das placas, e o mesmo arranjo mede a aderência da borracha ao metal. Na ASTM C273/C273M, o núcleo de um painel sanduíche, como espuma ou colmeia, é colado entre duas placas que deslizam uma sobre a outra, e o ensaio dá o módulo e a resistência ao cisalhamento do núcleo.

Polímeros: DMA

Em polímeros e elastômeros, o G que interessa ao projeto é o da temperatura e da frequência de uso. A análise dinâmico-mecânica aplica uma deformação oscilante pequena, em torção ou cisalhamento, e mede G' e G'' numa varredura de temperatura ou de frequência; os métodos estão reunidos na série ISO 6721. O resultado mostra onde o material amolece, e é mais útil que um valor único de tabela.

Solos: G₀ por bender elements e coluna ressonante

Em solos, G não é constante: ele cai à medida que a distorção aumenta. O valor de referência é o G₀, ou G_máx, de pequenas deformações, usado em projeto sísmico e em fundações de máquinas. Em laboratório, ele se obtém com bender elements, pequenos transdutores piezoelétricos instalados no topo e na base de um corpo de prova triaxial (ASTM D8295-19): mede-se o tempo que a onda de cisalhamento leva para atravessar a amostra, e G₀ = ρ·V_s², com ρ a massa específica e V_s a velocidade da onda. A coluna ressonante (ASTM D4015-21) excita o corpo de prova em torção e dá a curva de G e do amortecimento em função da distorção. O ensaio triaxial em si está em ensaio triaxial, e a linha de equipamentos de solos da Biopdi, em prensa triaxial.

A tabela resume os métodos, o material em que cada um é usado e o que ele entrega:

Método	Norma	Material típico	O que entrega
Torção de barra ou tubo	ASTM E143-20	metais e materiais estruturais	G estático pela inclinação torque × ângulo
Vibração por impulso	ASTM E1876-22	metais, cerâmicas, refratários	E, G e ν dinâmicos
Viga com entalhe em V	ASTM D5379	compósitos de fibra	G12 de corda num plano
Trilho com entalhe em V	ASTM D7078	compósitos de fibra	G12 de corda, área útil maior
Tração de laminado ±45°	ASTM D3518/D3518M	compósitos de fibra	G12 com corpo de prova reto
Quádruplo cisalhamento	ISO 1827	borracha	G do composto e aderência ao metal
Núcleo entre placas	ASTM C273/C273M	núcleos de sanduíche	G e resistência do núcleo
DMA	série ISO 6721	polímeros e elastômeros	G' e G'' por temperatura e frequência
Bender elements	ASTM D8295-19	solos	G0 = ρ·Vs²
Coluna ressonante	ASTM D4015-21	solos	G e amortecimento × distorção

Onde o módulo de cisalhamento entra no projeto

G aparece sempre que a peça trabalha por torção ou por distorção e a deformação, e não só a resistência, precisa ser controlada:

• Eixos e árvores de transmissão: o ângulo de torção θ = T·L/(G·J) limita o projeto por rigidez, porque giro excessivo desalinha engrenagens e excita vibração torcional. A ASTM E143 cita os eixos rotativos como aplicação típica de G.
• Molas helicoidais: o fio de uma mola de compressão trabalha em torção, e a rigidez da mola é k = G·d⁴/(8·D³·n), com d o diâmetro do fio, D o diâmetro médio e n o número de espiras ativas. O E nem aparece na conta (exercício 5).
• Perfis de aço: a flambagem lateral com torção de vigas depende da rigidez à torção do perfil, que é G vezes a constante de torção da seção. É ali que os 77.000 MPa da NBR 8800 entram no cálculo de estruturas metálicas.
• Concreto: em vigas altas, pilares-parede e núcleos de edifícios, a deformação por força cortante deixa de ser desprezível diante da de flexão, e entra o G_c da NBR 6118.
• Coxins e apoios de elastômero: aqui o G baixo é desejado. Um apoio de borracha deixa a estrutura deslocar na horizontal com pouca força e isola vibração; o projeto do apoio parte do G do composto.
• Geotecnia: a resposta de um terreno a sismo ou à vibração de uma máquina depende do G₀ e da curva de degradação de G com a distorção.

Como interpretar o módulo de cisalhamento

As dúvidas abaixo são as que aparecem quando um valor de G sai de um ensaio, de uma ficha ou de uma norma e precisa ser usado num cálculo.

O ensaio deu 79 GPa e a norma diz 77 GPa. O material está fora?

Não. Os 77 GPa da NBR 8800 são um valor de projeto, coerente com E = 200 GPa e ν = 0,3; o valor medido num aço real costuma ficar entre 77 e 83 GPa, conforme a liga e a textura. Uma diferença de 2,6 % está dentro da variação do material e da incerteza da medição: só o diâmetro, medido com 0,01 mm de erro numa barra de 6 mm, já move G em 0,7 %. O G medido serve para conferir o material ou para cálculo que exija precisão; o projeto pela norma continua com 77 GPa.

Posso calcular G a partir do E do ensaio de tração?

Num metal comum, sim, como estimativa: com o E medido e o ν medido no mesmo ensaio, ou o ν de referência do material, a fórmula isotrópica erra alguns por cento. Em compósitos, madeira, chapas com textura forte e peças impressas em 3D, não: o material não é isotrópico e G precisa de ensaio próprio. Em polímeros, a estimativa vale só para a temperatura e a velocidade em que o E foi medido.

A inclinação da curva torque × ângulo é o G?

Não diretamente. A inclinação, em N·m/rad, é a rigidez torcional G·J/L do corpo de prova. Para chegar a G, multiplica-se pelo comprimento útil e divide-se pelo momento polar de inércia. Um relatório que traz a inclinação sem J e L não informa o módulo do material, e dois corpos de prova de diâmetros diferentes do mesmo aço dão inclinações diferentes e o mesmo G.

O G de uma ficha de compósito ou de madeira vale para qualquer direção?

Não. Em material anisotrópico existem vários módulos de cisalhamento, um para cada plano: G₁₂, G₁₃ e G₂₃ num laminado, ou G_LR, G_LT e G_RT na madeira. Um valor sem o plano não serve para projeto. O ensaio com entalhe em V mede um plano por corpo de prova.

Por que o G dinâmico difere do G medido por torção?

Porque os dois métodos solicitam o material de formas diferentes. A vibração usa deformações muito pequenas e rápidas, sem tempo para a parcela viscosa ou para microdeslizamentos; o ensaio estático leva segundos ou minutos. Em metais as duas leituras costumam ficar próximas; em polímeros, concreto e solos, o valor dinâmico tende a ser maior. A norma de projeto ou a especificação dizem qual usar.

Temperatura e tratamento térmico mudam G?

Tratamento térmico quase não muda: G depende das ligações entre os átomos, e o que o tratamento altera é a resistência, não a rigidez. A temperatura muda: nos metais G cai devagar com o aquecimento, na mesma proporção do E, e nos polímeros cai muito perto da transição vítrea. Um G de tabela vale para a temperatura ambiente.

Exercícios resolvidos

Os exercícios seguem a ordem do artigo: a coerência entre E, G e ν, a medição por torção, o erro dos graus e três aplicações de projeto. As relações entre E, G e ν do aço e do alumínio com valores de norma já estão resolvidas nos artigos sobre coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade, e não se repetem aqui.

Exercício 1: ν a partir de E e G medidos

Um ensaio de vibração por impulso numa barra de aço dá E = 206 GPa e G = 80,0 GPa. Calcule ν e verifique o que acontece se E e G vierem de fontes diferentes.

1. ν = E/(2G) − 1 = 206/(2 × 80,0) − 1 = 206/160 − 1 = 1,2875 − 1 = 0,29, valor normal para aço.
2. Sensibilidade: se G fosse 79,0 GPa, ν = 206/158 − 1 = 0,304. Um erro de 1,25 % em G mudou ν em 0,016, cerca de 6 %. O ν calculado por esse caminho é muito sensível à qualidade das duas medições.
3. Mistura de fontes: E = 210 GPa (NBR 6118) com G = 77 GPa (NBR 8800) dá ν = 210/154 − 1 = 0,36, fora da faixa dos aços. O número é o sinal de que os dois módulos não pertencem ao mesmo conjunto.

Exercício 2: G pela inclinação no ensaio de torção

Um corpo de prova de aço maciço com d = 6,00 mm é ensaiado em torção, com o ângulo medido entre duas seções separadas por L = 100 mm. No trecho linear, o registro mostra T₁ = 1,00 N·m com θ₁ = 0,62° e T₂ = 4,00 N·m com θ₂ = 2,33°. Calcule G e compare com o cálculo feito só com o último ponto.

1. Momento polar de inércia: J = π × 6,00⁴ / 32 = π × 1.296 / 32 = 127,23 mm⁴.
2. Variações: ΔT = 4,00 − 1,00 = 3,00 N·m = 3.000 N·mm; Δθ = 2,33 − 0,62 = 1,71° = 1,71 × π/180 = 0,029845 rad.
3. Módulo: G = ΔT·L / (J·Δθ) = 3.000 × 100 / (127,23 × 0,029845) = 300.000 / 3,7973 = 79.000 MPa = 79,0 GPa.
4. Só com o último ponto: θ₂ = 2,33° = 0,040666 rad, e G = 4.000 × 100 / (127,23 × 0,040666) = 400.000 / 5,1741 = 77.300 MPa = 77,3 GPa, 2,2 % abaixo. A reta não passa pela origem: os 0,05° de acomodação do início entram inteiros no ponto isolado e somem na diferença.
5. Conferência do regime elástico: τ_máx = 16·T/(π·d³) = 16 × 4.000 / (π × 216) = 64.000 / 678,58 = 94,3 MPa, abaixo do escoamento em cisalhamento de um aço comum (cerca de 144 MPa para escoamento de 250 MPa em tração). A distorção na superfície é γ = τ/G = 94,3 / 79.000 = 1,19 × 10⁻³ rad.

Quanto à incerteza: uma resolução angular de 0,018° representa 1,1 % de Δθ = 1,71°, e uma de 0,005 N·m representa 0,17 % de ΔT = 3,00 N·m. Um trecho mais longo, mais pontos no ajuste e o diâmetro medido em várias posições reduzem a incerteza. Com 4 N·m, o ensaio cabe numa máquina de torção de 5 N·m.

Exercício 3: o erro dos graus

No exercício 2, o técnico usou Δθ = 1,71 direto na fórmula, sem converter para radianos. Que G ele obteve?

1. G = 300.000 / (127,23 × 1,71) = 300.000 / 217,57 = 1.379 MPa = 1,38 GPa.
2. Razão: 79,0 / 1,38 = 57,3 = 180/π. O aço "virou" um polímero rígido.

Um G de aço abaixo de 70 GPa ou acima de 90 GPa pede revisão das unidades antes de qualquer conclusão sobre o material.

Exercício 4: ângulo de torção de um eixo

Um eixo maciço de aço com d = 40 mm e L = 1,2 m transmite T = 500 N·m. Calcule o ângulo de torção com G = 77 GPa e com G = 83 GPa, e a tensão máxima.

1. J = π × 40⁴ / 32 = π × 2.560.000 / 32 = 251.327 mm⁴.
2. Rigidez torcional com G = 77 GPa: G·J/L = 77.000 × 251.327 / 1.200 = 1,613 × 10⁷ N·mm/rad = 16,1 kN·m/rad.
3. θ = T·L / (G·J) = 500.000 × 1.200 / (77.000 × 251.327) = 6,0 × 10⁸ / 1,935 × 10¹⁰ = 0,0310 rad = 1,78°.
4. Com G = 83 GPa: θ = 6,0 × 10⁸ / 2,086 × 10¹⁰ = 0,0288 rad = 1,65°, 7,2 % menos.
5. τ_máx = 16 × 500.000 / (π × 40³) = 8.000.000 / 201.062 = 39,8 MPa, igual nos dois casos.

A tensão não depende de G; o ângulo depende. Num projeto limitado pela rigidez, a escolha entre o valor de norma e o valor medido muda o resultado na mesma proporção.

Exercício 5: rigidez de uma mola helicoidal

Uma mola de compressão tem fio de aço com d = 2,0 mm, diâmetro médio D = 20 mm e n = 10 espiras ativas. O fabricante do arame informa G = 79 GPa. Calcule a rigidez e o efeito de usar 77 GPa.

1. k = G·d⁴ / (8·D³·n) = 79.000 × 2,0⁴ / (8 × 20³ × 10) = 79.000 × 16 / 640.000 = 1.264.000 / 640.000 = 1,98 N/mm.
2. Com 77 GPa: 77.000 × 16 / 640.000 = 1,93 N/mm, 2,5 % a menos.

Como k é proporcional a G, a tolerância de rigidez de uma mola de precisão consome boa parte da margem só pela escolha do valor de G. Por isso fabricantes de mola trabalham com o G do arame que compram, e não com um valor genérico.

Exercício 6: G de um concreto C30 pela NBR 6118

Estime o módulo de elasticidade transversal de um concreto C30 com brita de granito e a distorção sob uma tensão de cisalhamento de serviço de 1,0 MPa.

1. Pelo artigo sobre o módulo de elasticidade do concreto: E_ci = 5.600 × √30 = 30.672 MPa; α_i = 0,8 + 0,2 × 30/80 = 0,875; E_cs = 0,875 × 30.672 = 26.838 MPa.
2. G_c = E_cs / 2,4 = 26.838 / 2,4 = 11.183 MPa ≈ 11,2 GPa.
3. Conferência: E_cs / [2 × (1 + 0,2)] dá o mesmo valor, porque 2,4 = 2 × 1,2.
4. Distorção: γ = τ/G_c = 1,0 / 11.183 = 8,9 × 10⁻⁵ rad.

O concreto tem cerca de um sétimo do G do aço (77 / 11,2 = 6,9). O valor só vale enquanto as tensões ficarem dentro dos limites do item 8.2.9 da norma.

Erros comuns

Os erros abaixo aparecem em relatórios de ensaio, memoriais de cálculo e exercícios:

• Usar graus em γ ou em θ: o G sai 57,3 vezes menor.
• Chamar de G a inclinação torque × ângulo: ela é G·J/L, a rigidez da peça.
• Confundir módulo com resistência ao cisalhamento: um é rigidez, em GPa; o outro é tensão de ruptura ou escoamento, em MPa. O dispositivo de cisalhamento de parafusos mede a segunda.
• Misturar fontes: E de uma norma com G de outra gera um ν impossível.
• Aplicar G = E/[2(1 + ν)] a compósito ou madeira.
• Calcular G com um ponto isolado em vez da inclinação de vários pontos.
• Medir fora do trecho linear ou em material com fluência durante o ensaio, condição que a ASTM E143 exclui.
• Medir o ângulo pelo giro da garra sem corrigir a rigidez do sistema.
• Tratar o G de um polímero como constante, sem temperatura nem tempo de carga.
• Usar o G₀ de um solo para deformações grandes, em que G já caiu.

Equipamento para medir o módulo de cisalhamento

Para medir G por torção, a Biopdi fabrica a máquina de ensaio de torque, com capacidades de 1, 5 e 10 N·m (outras sob consulta), velocidade ajustável de 0,01 a 200 rpm, precisão angular de 0,018° e precisão de torque de 0,005 N·m. Ela aceita amostras de até 200 mm de comprimento e diâmetros de 1 a 8 mm e de 5 a 20 mm, a faixa do corpo de prova de 6 mm do exercício 2. As fotos abaixo mostram as duas versões: à esquerda, a Completa, que funciona de forma independente, com console de display e teclado e software de aquisição; à direita, a Básica, com o motor e os dois mandris sobre uma base com trilho, usada em conjunto com a máquina universal Biopdi.

A máquina universal de ensaios entra na medição de G por dois caminhos. Primeiro, ela mede os insumos da fórmula isotrópica: o módulo de Young e o coeficiente de Poisson, no ensaio de tração com extensômetro. Segundo, ela recebe os dispositivos de cisalhamento; o de parafusos e pinos mede a resistência ao cisalhamento do fixador, e não o módulo G, porque não registra a distorção do material. A máquina universal Biopdi também pode receber um módulo de torção associado à tração, para ensaios combinados, com configuração definida sob consulta. O painel abaixo mostra a máquina, o papel de cada parte e os dispositivos ligados ao tema.

Pela faixa de até 10 N·m, a máquina de torque atende fios, arames, parafusos pequenos e corpos de prova de metal e polímero de pequeno diâmetro. Um eixo de 40 mm como o do exercício 4 já trabalha com centenas de N·m: para torques maiores, consulte outras capacidades ou os projetos especiais. As demais propriedades medidas na máquina universal estão em propriedades mecânicas dos materiais, e um orçamento pode ser pedido para os corpos de prova do seu laboratório.

Normas do módulo de cisalhamento

As normas de ensaio dizem como medir G em cada classe de material; as de projeto dizem que valor adotar quando ele não é medido. A tabela reúne as citadas neste artigo, com a edição conferida em 01/10/2026:

Norma	O que trata	Edição
ASTM E143	módulo de cisalhamento por torção, à temperatura ambiente	E143-20
ASTM E1876	E, G e ν dinâmicos por excitação por impulso	E1876-22
ASTM D5379/D5379M	cisalhamento de compósitos, viga com entalhe em V	D5379/D5379M-19(2026)
ASTM D7078/D7078M	cisalhamento de compósitos, trilho com entalhe em V	D7078/D7078M-20(2025)
ASTM D3518/D3518M	cisalhamento no plano de compósitos por tração de laminado ±45°	D3518/D3518M-18(2025)
ASTM C273/C273M	módulo e resistência ao cisalhamento de núcleos de sanduíche	C273/C273M-20
ISO 1827	módulo de cisalhamento da borracha e aderência a placas rígidas, quádruplo cisalhamento	ISO 1827:2022
ASTM D8295	velocidade da onda de cisalhamento e G0 de solos por bender elements	D8295-19
ASTM D4015	módulo e amortecimento de solos em coluna ressonante	D4015-21
Série ISO 6721	propriedades dinâmico-mecânicas de plásticos (DMA)	não indicada
ABNT NBR 8800	estruturas de aço e mistas: E = 200.000 MPa, G = 77.000 MPa, ν = 0,3	2024 (versão corrigida 2025); valores conferidos na de 2008
ABNT NBR 6118	estruturas de concreto: ν = 0,2 e Gc = Ecs/2,4 (item 8.2.9)	2023, com a Emenda 1:2026